[论文解读] Simple Witt modules that are finitely generated over the cartan subalgebra

Xiangqian Guo, Genqiang Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过证明这些模来自简单 $\pi$-模与有限维简单 $\rho\mathfrak{gl}_d$-模的张量积的商模，对在 Cartan 子代数上有限生成的简单 Witt 代数模进行了分类。关键贡献在于通过广义构造 $\mathcal{F}(P,V)$ 完全刻画了此类模，扩展了关于 $F^\alpha_b(V)$ 模的早期结果，并完整描述了在 Cartan 子代数上有限生成的简单 $\mathcal{K}_d$-模与适定 $\widetilde{W}_d$-模的结构。

ABSTRACT

Let $d\ge1$ be an integer, $W_d$ and $\mathcal{K}_d$ be the Witt algebra and the weyl algebra over the Laurent polynomial algebra $A_d=\mathbb{C} [x_1^{\pm1}, x_2^{\pm1}, ..., x_d^{\pm1}]$, respectively. For any $\mathfrak{gl}_d$-module $M$ and any admissible module $P$ over the extended Witt algebra $\widetilde W_d$, we define a $W_d$-module structure on the tensor product $P\otimes M$. We prove in this paper that any simple $W_d$-module that is finitely generated over the cartan subalgebra is a quotient module of the $W_d$-module $P \otimes M$ for a finite dimensional simple $\mathfrak{gl}_d$-module $M$ and a simple $\mathcal{K}_d$-module $P$ that are finitely generated over the cartan subalgebra. We also characterize all simple $\mathcal{K}_d$-modules and all simple admissible $\widetilde W_d$-modules that are finitely generated over the cartan subalgebra.

研究动机与目标

• 对在 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $W_d$-模进行分类，这是高秩李代数表示论中的一个核心问题。
• 通过 $\widetilde{W}_d$-模与 $\mathfrak{gl}_d$-模的张量积，将 $F^\alpha_b(V)$ 模的构造推广到更广泛的 $W_d$-模类。
• 完全刻画所有在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $\mathcal{K}_d$-模与简单适定 $\widetilde{W}_d$-模，完成该类别的结构分类。
• 证明此类简单 $W_d$-模是 $U(\mathfrak{h})$-挠自由的，并且作为 $\mathcal{F}(P,V)$ 的商模出现，其中 $P$ 和 $V$ 适当，从而解决了 $W_d$ 的权模程序中的一个关键结构问题。

提出的方法

• 对任意 $\mathfrak{gl}_d$-模 $M$ 和适定 $\widetilde{W}_d$-模 $P$，在 $P \otimes M$ 上定义一个 $W_d$-模结构，推广了 $F^\alpha_b(V)$ 的构造。
• 利用从 $U(\widetilde{W}_d)$ 到 Weyl 代数 $\mathcal{K}_d$ 的自然代数同态，将 $\mathcal{K}_d$-模视为 $\widetilde{W}_d$-模。
• 构造 $\mathcal{F}(P,V) = P \otimes M$ 作为 $W_d$-模，其中 $M$ 是一个有限维简单 $\mathfrak{gl}_d$-模。
• 将所有在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $\mathcal{K}_d$-模刻画为 $S_{f_1,\dots,f_d} = \mathcal{K}_d / \sum \mathcal{K}_d f_i$ 的商模，其中 $f_i$ 是 $x_i$ 上的洛朗多项式，系数取自 $U(\mathfrak{h})$。
• 证明任何在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $W_d$-模都是 $\mathcal{F}(P,V)$ 的商模，其中 $P$ 是一个在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $\mathcal{K}_d$-模，$V$ 是一个不与 $V(\delta_k,k)$ 同构的有限维简单 $\mathfrak{gl}_d$-模。
• 利用滤过结构 $0 \subseteq \mathfrak{L}_d(P,k) \subseteq \widetilde{\mathfrak{L}}_d(P,k) \subseteq \mathcal{F}(P,V(\delta_k,k))$ 及同态 $\pi_{k-1}$ 分析不可约性与结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些在 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $W_d$-模可以作为有限维简单 $\mathfrak{gl}_d$-模 $V$ 与简单 $\mathcal{K}_d$-模 $P$ 的 $\mathcal{F}(P,V)$ 的商模实现？
• RQ2 在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的所有简单 $\mathcal{K}_d$-模的完整分类是什么？
• RQ3 $\mathfrak{L}_d(P,k)$ 与 $\widetilde{\mathfrak{L}}_d(P,k)$ 模与 $\mathcal{F}(P,V)$ 的不可约性有何关系？
• RQ4 当 $V$ 是一个有限维简单 $\mathfrak{gl}_d$-模时，$\mathcal{F}(P,V)$ 在什么条件下是不可约的？
• RQ5 每个在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $W_d$-模是否都能作为 $\mathcal{F}(P,V)$ 的商模实现，其中 $P$ 是 $\mathcal{K}_d$-模且 $V$ 不与 $V(\delta_k,k)$ 同构？

主要发现

• 任何在 Cartan 子代数 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $W_d$-模都同构于某个有限维简单 $\mathfrak{gl}_d$-模 $V$ 与在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $\mathcal{K}_d$-模 $P$ 的 $\mathcal{F}(P,V)$ 的商模。
• 在 $U(\mathfrak{h})$ 上为有限秩自由模的简单 $W_d$-模同构于 $\mathcal{F}(P,V)$，其中 $P$ 是在 $U(\mathfrak{h})$ 上为有限秩自由模，且 $V$ 不与 $V(\delta_k,k)$ 同构（$k=1,\dots,d$）。
• 所有在 $\mathfrak{h}$ 上有限生成的简单 $\mathcal{K}_d$-模都是 $S_{f_1,\dots,f_d} = \mathcal{K}_d / \sum \mathcal{K}_d f_i$ 的商模，其中每个 $f_i$ 是 $x_i$ 上的洛朗多项式，系数取自 $U(\mathfrak{h})$。
• $\mathcal{K}_d$-模 $S_{f_1,\dots,f_d}$ 具有有限合成长度，且其任意商模都是 $U(\mathfrak{h})$-有限生成模。
• $\mathfrak{L}_d(P,k)$ 模在 $k=1,\dots,d$ 时是简单 $W_d$-模，作为同态 $\pi_{k-1}$ 的核出现，该同态连接 $\mathcal{F}(P,V(\delta_{k-1},k-1))$ 与 $\mathcal{F}(P,V(\delta_k,k))$。
• 每个在 $U(\mathfrak{h})$ 上为有限秩自由模的简单 $W_d$-模都可作为 $\mathcal{F}(P,V)$ 的商模实现，其中 $P$ 是在 $U(\mathfrak{h})$ 上为有限秩自由模，且 $V$ 不与 $V(\delta_k,k)$ 同构，从而为这类模提供了完整的构造。