[论文解读] Skew Cyclic codes over $\F_q+u\F_q+v\F_q+uv\F_q$

Ting Yao, Minjia Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了在环 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 上的斜循环码，其中 $ u^2 = u $，$ v^2 = v $，$ uv = vu $，且 $ q = p^m $，$ p $ 为奇素数。基于正交幂等元的分解定理，作者将斜循环码表征为斜多项式环中的理想，并推导出当长度 $ n $ 为奇数时此类码的数量公式：$ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $，其中 $ x^n - 1 = \prod p_i^{s_i}(x) $ 在 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 中分解。主要贡献在于通过其生成多项式和格雷像，对这些码进行了枚举与结构表征。

ABSTRACT

In this paper, we study skew cyclic codes over the ring $R=\F_q+u\F_q+v\F_q+uv\F_q$, where $u^{2}=u,v^{2}=v,uv=vu$, $q=p^{m}$ and $p$ is an odd prime. We investigate the structural properties of skew cyclic codes over $R$ through a decomposition theorem. Furthermore, we give a formula for the number of skew cyclic codes of length $n$ over $R.$

研究动机与目标

• 研究在环 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 上的斜循环码的结构性质，其中 $ u^2 = u $，$ v^2 = v $，$ uv = vu $，且 $ q = p^m $，$ p $ 为奇素数。
• 建立一个分解定理，使 $ R $ 上的斜循环码可通过其在 $ \mathbb{F}_q $ 中的分量进行分析，利用正交幂等元 $ \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 $。
• 基于 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 中 $ x^n - 1 $ 的因式分解，推导出 $ R $ 上长度为奇数 $ n $ 的不同斜循环码数量的公式。
• 研究这些码的格雷映射像，并展示如何从 $ \mathbb{F}_q $ 上的分量码计算其参数。

提出的方法

• 利用正交幂等元 $ \eta_1 = 1 - u - v + uv $，$ \eta_2 = uv $，$ \eta_3 = u - uv $，$ \eta_4 = v - uv $，将环 $ R $ 分解为四个 $ \mathbb{F}_q $ 的直和，从而通过其在 $ \mathbb{F}_q^n $ 上的投影来分析 $ R $ 上的码。
• 在 $ R $ 上定义一个环自同态 $ \theta $，由 $ \theta(b_0 + b_1 u + b_2 v + b_3 uv) = b_0^p + b_2^p u + b_1^p v + b_3^p uv $ 给出，该自同态诱导出一个斜多项式环 $ R[x;\theta] $，构成斜循环码定义的基础。
• 证明 $ R $ 上的斜循环码是 $ R[x;\theta]/(x^n - 1) $ 中的主理想，由唯一多项式 $ g(x) = \sum_{i=1}^4 \eta_i g_i(x) $ 生成，其中每个 $ g_i(x) $ 是 $ \mathbb{F}_q $ 上斜循环码的首一生成多项式。
• 计算出 $ R $ 上长度为奇数 $ n $ 的不同斜循环码的数量为 $ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $，其中 $ x^n - 1 = \prod_{i=1}^r p_i^{s_i}(x) $ 是在 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 中的不可约多项式因式分解。
• 使用格雷映射 $ \Phi: R^n \to \mathbb{F}_q^{4n} $ 将 $ R $ 上的码提升为 $ \mathbb{F}_q $-线性码，保持距离，并通过 Plotkin 和构造具有特定参数的码。
• 证明 $ R $ 上斜循环码的对偶码也是斜循环码，且由生成多项式的斜伴随倒多项式生成，满足 $ |C^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg(g_i(x))} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分解定理对环 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 上的斜循环码进行结构表征？
• RQ2 在 $ R $ 上长度为奇数 $ n $ 的不同斜循环码的确切数量是多少？它与 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 中 $ x^n - 1 $ 的因式分解有何关系？
• RQ3 格雷映射如何将 $ R $ 上的斜循环码转化为 $ \mathbb{F}_q $-线性码？其结果像的参数是什么？
• RQ4 在何种条件下 $ R $ 上的斜循环码等价于 $ R $ 上的循环码？这种等价性如何影响码的枚举？

主要发现

• 在 $ R $ 上长度为奇数 $ n $ 的不同斜循环码的数量为 $ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $，其中 $ x^n - 1 = \prod_{i=1}^r p_i^{s_i}(x) $ 是在 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 中的不可约多项式因式分解，$ p_i(x) $ 不可约，$ s_i $ 为其指数。
• 每个 $ R $ 上的斜循环码都是 $ R[x;\theta]/(x^n - 1) $ 中的主理想，由唯一多项式 $ g(x) = \sum_{i=1}^4 \eta_i g_i(x) $ 生成，其中每个 $ g_i(x) $ 是 $ \mathbb{F}_q $ 上斜循环码的首一生成多项式。
• $ R $ 上斜循环码 $ C $ 的对偶码 $ C^\perp $ 也是斜循环码，由 $ \sum_{i=1}^4 \eta_i \widetilde{h_i}(x) $ 生成，其中 $ \widetilde{h_i}(x) $ 是 $ h_i(x) $ 的倒多项式的斜伴随，且满足 $ |C^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg(g_i(x))} $。
• 格雷映射 $ \Phi $ 是从 $ (R^n, d_L) $ 到 $ (\mathbb{F}_q^{4n}, d_H) $ 的 $ \mathbb{F}_q $-线性等距变换，保持 Lee 距离与汉明距离。
• 对于斜循环码 $ C = \eta_1 C_1 \oplus \eta_2 C_2 \oplus \eta_3 C_3 \oplus \eta_4 C_4 $，其格雷像为 $ \Phi(C) = (C_1 \oplus_P C_2) \oplus_P (C_3 \oplus_P C_4) $，其中 $ \oplus_P $ 表示 Plotkin 和。
• 当 $ n $ 为奇数时，$ R $ 上的每个斜循环码都等价于 $ R $ 上的一个循环码，这意味着在此情况下斜结构并未产生新的码。