[论文解读] $sl_2$ conformal block divisors and the nef cone of $\bar{M}_{0,n}$

David Swinarski|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 10

一句话总结

本论文通过F-曲线的交点理论与多面体非空性条件，证明了$\mathfrak{sl}_2$共形块除子并不能生成$\bar{M}_{0,6}$的完整 nef 锥，或$\bar{M}_{0,9}$的$S_9$-对称 nef 锥。关键结果表明，尽管经过广泛的计算与理论分析，这些锥中的某些极小射线仍位于$\mathfrak{sl}_2$共形块除子张成的线性空间之外。

ABSTRACT

We show that $sl_2$ conformal block divisors do not cover the nef cone of $\bar{M}_{0,6}$, or the $S_9$-invariant nef cone of $\bar{M}_{0,9}$. A key point is to relate the nonvanishing of intersection numbers between these divisors and F-curves to the nonemptiness of some explicitly defined polytopes. Several experimental results and some open problems are also included.

研究动机与目标

• 确定$\bar{M}_{0,n}$上的所有 nef 除子是否均来自$\mathfrak{sl}_2$共形块的行列式线丛。
• 研究$S_n$-对称的$\bar{M}_{0,n}$上 nef 除子是否由对称化共形块除子生成。
• 通过交点理论与多面体方法，解决关于哪些 nef 除子是共形块除子的开放性问题。
• 提供计算证据，表明对于$\mathfrak{sl}_2$，当$n$超过较小值时，共形块除子锥并非有限生成。

提出的方法

• 使用F-曲线作为测试曲线，计算共形块除子与$\bar{M}_{0,n}$中有效曲线的交点数。
• 将交点数非零与显式定义的、编码融合规则的多面体非空性联系起来。
• 应用Fakhruddin的公式，计算F-曲线上陈类与行列式线丛次数的交点数。
• 使用Macaulay2、ConformalBlocks、NefWiz和polymake等计算工具分析除子锥并验证多面体条件。
• 将问题简化为检查在特定奇偶性下多面体中是否存在格点，利用Rasmussen-Walton型不等式。
• 通过对称性约化与轨道分析，处理$\bar{M}_{0,6}$的nef锥中$S_n$-轨道数量庞大的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\mathfrak{sl}_2$共形块除子是否生成$\bar{M}_{0,6}$的完整 nef 锥？
• RQ2 $S_9$-对称共形块除子是否覆盖$\bar{M}_{0,9}$的$S_9$-不变 nef 锥的全部？
• RQ3 共形块除子与F-曲线的交点数非零能否通过多面体非空性来刻画？
• RQ4 是否存在一个有限生成集，用于生成所有级别与权重下的$\mathfrak{sl}_2$共形块除子锥？
• RQ5 对于一般$\mathfrak{g}$，共形块丛的秩与次数能否表示为多面体中格点数的计数？

主要发现

• $\mathfrak{sl}_2$共形块除子并未覆盖$\bar{M}_{0,6}$的完整 nef 锥，$S_6$-轨道结构中存在一个非共形块除子的极小射线作为证据。
• 在$\bar{M}_{0,9}$中，$S_9$-不变 nef 锥有四个极小射线，其中三个由共形块除子张成，但第四个射线（由$B_2 + B_3 + 2B_4$张成）并非由任何$\mathfrak{sl}_2$共形块除子生成。
• 与F-曲线的交点数非零等价于由权重与级别约束定义的某些多面体的非空性。
• $\bar{M}_{0,9}$中的极小射线$B_2 + B_3 + 2B_4$无法是任何$\mathfrak{sl}_2$共形块除子的倍数，因其与$F_{5,2,1,1}$-曲线的交点为零。
• 本文提供了计算证据，表明当$n=9$时，$\mathfrak{sl}_2$共形块除子锥并非有限生成，因为不存在任何有限级别或李代数能生成缺失的射线。
• 作者推测，由于李代数与级别的参数空间无限，目前尚无法设计出一个通用算法来判断给定的 nef 除子是否为共形块除子。