[论文解读] SL(2,R)-invariant probability measures on the moduli spaces of translation surfaces are regular

Artur Avila, Carlos Matheus+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文通过证明当 $\rho \to 0$ 时，长度 $\leq \rho$ 的两条非平行的分歧连接（saddle-connections）的曲面集合的测度为 $o(\rho^2)$，从而证明了任意 $SL(2,\mathbb{R})$-不变的概率测度在 genus $g$ 的归一化平移曲面模空间上都是正则的。该结果解决了 Eskin-Kontsevich-Zorich 公式中关于李雅普诺夫指数之和的公式所依赖的关键技术假设。

ABSTRACT

In the moduli space $H_g$ of normalized translation surfaces of genus $g$, consider, for a small parameter $ρ>0$, those translation surfaces which have two non-parallel saddle-connections of length $\leq ρ$. We prove that this subset of $H_g$ has measure $o(ρ^2)$ w.r.t. any probability measure on $H_g$ which is invariant under the natural action of $SL(2,R)$. This implies that any such probability measure is regular, a property which is important in relation with the recent fundamental work of Eskin-Kontsevich-Zorich on the Lyapunov exponents of the KZ-cocycle.

研究动机与目标

• 建立 genus $g \geq 1$ 的归一化平移曲面模空间 $\mathcal{H}_g$ 上 $SL(2,\mathbb{R})$-不变概率测度的正则性。
• 解决 Eskin-Kontsevich-Zorich 公式中关于李雅普诺夫指数之和的公式所存在的一个技术性漏洞，该公式要求测度为正则。
• 证明在任意此类不变测度下，具有两条长度 $\leq \rho$ 的非平行分歧连接的平移曲面集合的测度为 $o(\rho^2)$。
• 为 Eskin-Kontsevich-Zorich 公式中使用的分部积分法提供几何与动力学上的依据。

提出的方法

• 利用 $SL(2,\mathbb{R})$ 作用，通过分解 $g_t R_\theta n_u$ 分析分歧连接的动力学行为。
• 应用条件测度技术，研究对角子群 $g_t = \mathrm{diag}(e^t, e^{-t})$ 的轨道上测度的行为。
• 使用欧氏范数和三角恒等式估计 $SL(2,\mathbb{R})$ 变换下向量的范数。
• 在基本区域 $X_0^*$ 上构造参考测度 $m_0$，并通过缩放与积分将其与完整不变测度 $m$ 关联。
• 利用分歧连接之间的角度分离与最小角度估计，控制奇异构型的贡献。
• 应用分部积分与基于曲率的论证，将几何量与 Siegel-Veech 常数关联，依赖于正则性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $SL(2,\mathbb{R})$-不变概率测度在 $\mathcal{H}_g$ 上是否都满足 Eskin-Kontsevich-Zorich 公式所要求的正则性条件？
• RQ2 具有两条长度 $\leq \rho$ 的非平行分歧连接的平移曲面集合的渐近测度是多少？
• RQ3 $SL(2,\mathbb{R})$ 作用的动力学如何控制短分歧连接的几何结构？
• RQ4 在不附加额外假设的情况下，Eskin-Kontsevich-Zorich 公式中的分部积分法是否可以得到合理解释？
• RQ5 短分歧连接之间的角度分离在不变测度的正则性中起什么作用？

主要发现

• 在任意 $SL(2,\mathbb{R})$-不变概率测度下，具有两条长度 $\leq \rho$ 的非平行分歧连接的平移曲面集合的测度为 $o(\rho^2)$。
• 这意味着任何此类不变测度都是正则的，正如 Eskin-Kontsevich-Zorich 工作中所定义的那样。
• 正则性条件得以满足，是因为具有短而互不平行的分歧连接的曲面的测度衰减速度快于 $\rho^2$。
• 该证明依赖于对 $g_t R_\theta$ 作用下向量范数的控制，并利用角度分离来排除有问题的构型。
• 该结果确认了在仅依赖 $SL(2,\mathbb{R})$-不变性时，Eskin-Kontsevich-Zorich 公式中的分部积分法是有效的。
• 关键估计为 $m(Y(T,\frac{\pi}{2},X_0^*)) < \frac{1}{4}\eta \rho^2$ 及类似界，这些估计共同蕴含了 $o(\rho^2)$ 的衰减。