[论文解读] Volumes of the sets of translation surfaces with small saddle connections in rank one affine submanifolds

Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文在秩一仿射子流形中建立了具有多个小而独立的分歧连接的微分几何面集的精确体积估计。通过基于柱面分解的局部坐标系与复分析技术，证明此类集合的体积以 $\epsilon^{2\nu}$ 的速率衰减，确认了比以往已知更强的正则性性质，并将结果从strata推广至秩一子流形。

ABSTRACT

We prove some estimates of the volumes of the sets of translation surfaces of unit area having several independent small saddle connections in a rank one affine submanifold.

研究动机与目标

• 估计在秩一仿射子流形中具有 $\nu$ 个独立微小分歧连接的微分几面集的体积。
• 将Eskin-Kontsevich-Zorich与Avila-Matheus-Yoccoz的正则性结果推广至秩一仿射子流形。
• 证明此类集合的体积衰减速率与strata一致，表明更强的正则性。
• 为单位面积、具有 $\nu$ 个微小且独立的分歧连接的曲面建立关于 $\epsilon^{2\nu}$ 的统一体积界。

提出的方法

• 构造一族有限的局部坐标系，与柱面分解相关联，覆盖秩一仿射子流形的全测度开子集。
• 定义集合 $\mathcal{M}(\epsilon^\nu)$，即具有 $\nu$ 个长度小于 $\epsilon \sqrt{\mathbf{A}(M)}$ 的独立分歧连接的曲面集合，其中 $\mathbf{A}$ 为面积函数。
• 使用周期坐标与复向量空间 $\hat{\mathrm{V}}_{\hat{\mathrm{T}}}$ 参数化曲面，通过实系数线性系统求解。
• 定义从 $\hat{\mathrm{V}}_{\hat{\mathrm{T}}}$ 中的区域 $\mathcal{D}_0$ 到模形式空间的连续单射映射 $\Psi_{\hat{\mathrm{T}}}$，实现局部坐标图。
• 应用变量替换，并利用 $\epsilon$-缩放坐标下的高斯型衰减，对 $\mathcal{M}(\epsilon^\nu)$ 上的 $e^{-\mathbf{A}}$ 的积分进行有界估计。
• 利用对称可接受图类型数目的有限性，将空间划分，将全局积分化为有限个具有统一有界性的局部积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\epsilon \to 0$ 时，秩一仿射子流形中具有 $\nu$ 个独立微小分歧连接的微分几面集的体积是否以 $\epsilon^{2\nu}$ 的速率衰减？
• RQ2 strata中已知的正则性性质（通过 $o(\epsilon^2)$ 衰减实现）能否推广至所有秩一仿射子流形？
• RQ3 在这些子流形中，具有 $\nu$ 个微小且独立分歧连接的曲面集合的精确渐近体积增长为何？
• RQ4 柱面分解与图论结构（对称可接受族）如何控制微小分歧连接集合的几何性质？

主要发现

• 存在常数 $\epsilon_0 > 0$ 与 $K_0 > 0$，使得对所有 $0 < \epsilon < \epsilon_0$，有 $\int_{\mathcal{M}(\epsilon^\nu)} e^{-\mathbf{A}} d{\rm vol} < K_0 \epsilon^{2\nu}$。
• 归一化体积 $\mathrm{vol}_1(\mathcal{M}_1(\epsilon^\nu))$ 有界于 $\tilde{K}_0 \epsilon^{2\nu}$，其中 $\tilde{K}_0 > 0$，证实了 $\epsilon^{2\nu}$ 衰减。
• 该结果对所有 $\nu < d$ 均一致成立，其中 $d$ 为秩一仿射子流形 $\mathcal{M}$ 的实维数。
• 证明依赖于模形式空间的有限划分，其分块由对称可接受图类型索引，每类对应一个局部坐标图。
• 通过在 $\epsilon$-缩放坐标下对每个局部坐标图中 $e^{-\mathbf{A}}$ 的积分进行有界估计，确立了体积衰减。
• 关键技术步骤是证明面积函数与分歧连接长度的拉回在 $\epsilon$-缩放变量下形成二次型，从而可应用标准高斯积分估计。