[论文解读] Second variation of Zhang's lambda-invariant on the moduli space of curves

Robin de Jong|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文计算了模曲线空间上张氏λ-不变量的二阶变分，证明了$(8g+4)\lambda$在仅依赖于亏格的常数项下等于海因-里德β-不变量。利用川澄关于二阶变分的工作以及塞萨循环的性质，作者推导出双曲椭圆曲线上的λ-不变量的显式公式，该公式以判别式模形式的彼得松范数表示，从而在算术不变量与自守形式之间建立了深刻联系。

ABSTRACT

We compute the second variation of the λ-invariant, recently introduced by S. Zhang, on the complex moduli space M_g of curves of genus g>1, using work of N. Kawazumi. As a result we prove that (8g+4)λis equal, up to a constant, to the β-invariant introduced some time ago by R. Hain and D. Reed. We deduce some consequences; for example we calculate the λ-invariant for each hyperelliptic curve, expressing it in terms of the Petersson norm of the discriminant modular form.

研究动机与目标

• 计算亏格$g \geq 2$的曲线模空间$\mathcal{M}_g$上张氏λ-不变量的二阶变分。
• 通过二阶变分技术，将λ-不变量与海因-里德β-不变量关联起来。
• 显式计算双曲椭圆曲线上的λ-不变量，将其表示为判别式模形式的彼得松范数。
• 在模空间上建立算术不变量与自守形式之间的确切关系。

提出的方法

• 利用川澄关于φ-不变量的二阶变分公式，该不变量与张氏λ-不变量相关。
• 应用海因-里德通过双提升线丛及塞萨循环相关联的非平凡化函数构造β-不变量的方法。
• 比较λ-不变量与β-不变量的二阶变分，以确立其成比例关系。
• 利用双曲椭圆曲线上塞萨循环消失的事实，推导出双提升度量在双曲椭圆子空间上为常数。
• 通过比较行列式霍奇丛$\mathcal{L}^{\otimes 8g+4}$上的霍奇度量与双提升度量，比较范数。
• 应用山木的非阿基米德公式计算ε-不变量，以及局部科纳尔巴-哈里斯等式，以计算λ-β关系中的常数项。

实验结果

研究问题

• RQ1 张氏λ-不变量的二阶变分如何与模曲线空间上的已知不变量相关联？
• RQ2 双曲椭圆曲线上λ-不变量是否可用经典模形式表示？
• RQ3 海因-里德β-不变量能否通过二阶变分方法与λ-不变量直接关联？
• RQ4 $(8g+4)\lambda$与β-不变量之间的精确比例常数是多少？
• RQ5 关系式$(8g+4)\lambda = \beta + C_g$中的常数$C_g$在双曲椭圆曲线上是否为零？

主要发现

• 通过川澄公式计算了张氏λ-不变量的二阶变分，将其与全纯2-形式在全纯曲线上的典范形式联系起来。
• 等式$(8g+4)\lambda = \beta$在仅依赖于$g$的常数项下成立，确立了λ-不变量与海因-里德β-不变量之间的直接联系。
• 对于双曲椭圆曲线，λ-不变量由$(8g+4)\lambda = -\log\|\Lambda\|_{\mathrm{Hdg}}$给出，其中$\Lambda$是$\mathcal{L}^{\otimes 8g+4}$的全局截面。
• 通过非阿基米德分析与局部科纳尔巴-哈里斯等式，证明了关系式$(8g+4)\lambda = \beta + C_g$中的常数$C_g$在双曲椭圆曲线上为零。
• 双曲椭圆曲线上λ-不变量通过判别式模形式$\Delta_g$的彼得松范数表达为$\|\Lambda\|_{\mathrm{Hdg}}^{n} = (2\pi)^{4g^2r}\|\Delta_g\|^{g}$。
• 公式$(8g+4)\lambda = g\xi_0 + \sum_{j=1}^{[(g-1)/2]} 2(j+1)(g-j)\xi_j + \sum_{i=1}^{[g/2]} 4i(g-i)\delta_i$以稳定模型中奇异纤维的类型与亚型表示了λ-不变量。