[论文解读] Smooth duality and co-contra correspondence

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文在自然特征 $p$ 下为 $p$-进李群建立了光滑对偶函子，构造了在具有可承认上同调的光滑 $G$-模复形有界导出范畴上的对合三角对偶性。通过共-余对应和导出函子，它在无有限性假设下将光滑表示的对偶提升为光滑模的复形，从而在导出范畴中实现了自对偶结构。

ABSTRACT

The aim of this paper is to explain how to get a complex of smooth representations out of the dual vector space to a smooth representation of a p-adic Lie group, in natural characteristic. The construction does not depend on any finiteness/admissibility assumptions. Imposing such an assumption, one obtains an involutive duality on the derived category of complexes of smooth modules with admissible cohomology modules. The paper can serve as an introduction to the results about representations of locally profinite groups contained in the author's monograph on semi-infinite homological algebra arXiv:0708.3398.

研究动机与目标

• 构造一个自然的对偶函子，将光滑 $G$-模的对偶映射为光滑 $G$-模的复形，即使在无可承认性假设下也成立。
• 在具有可承认上同调的光滑 $G$-模复形的导出范畴上建立对合对偶性，将经典对偶性推广至非可承认模。
• 通过在 $p$-进李群背景下使用共-余对应和导出函子，统一并推广现有的光滑表示对偶理论。
• 阐明光滑模的导出范畴与其对偶之间的关系，特别是在自然特征 $p$ 的设定下。
• 提供一个避免使用子商范畴的导出范畴框架，与以往依赖于每个度数上单独计算 Ext 的方法不同。

提出的方法

• 利用共-余对应构造一个导出函子 $\mathbb{L}\Phi_G$，将 $G$-余模映射为 $G$-余模复形（即光滑模）。
• 应用导出余模-余模对应，通过 $\mathbb{L}\Phi_G(\mathcal{M}^\vee)$ 将光滑 $G$-模 $\mathcal{M}$ 的对偶空间 $\mathcal{M}^\vee$ 变换为光滑 $G$-模的复形。
• 将 $\Delta_G$ 函子用作导出对偶，定义为对偶化与共-余对应的复合，从而得到一个三角反等价。
• 对上同调模施加可承认性条件，以确保在导出范畴中对偶性是对合且行为良好的。
• 依赖于 $k(G)$，即 $G$ 上紧支集局部常值函数的 $\mathcal{C}$-半代数的结构，将光滑 $G$-模建模为 ${\boldsymbol{\mathcal{S}}}$-半模。
• 利用遗忘函子 $\mathsf{D}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k) \to \mathsf{D}(H{\operatorname{\mathsf{--discr}}}_k)$ 的保守性，证明 $\Delta_G$ 是在可承认性共表示光滑模的导出范畴上的对合自反等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 $p$-进李群的光滑表示构造一个无需可承认性假设的导出对偶？
• RQ2 共-余对应在特征 $p$ 下将光滑模的对偶提升为光滑模复形的过程中起什么作用？
• RQ3 即使模本身不是可承认的，是否也能在具有可承认上同调的光滑 $G$-模的导出范畴上建立对合对偶？
• RQ4 此处构造的导出对偶与 Kohlhaase 的方法相比如何？后者通过逐度计算 Ext 群避免使用导出范畴。
• RQ5 为何导出对偶无法限制为在可承认性共表示光滑 $G$-模的导出范畴上成为对合对偶？其障碍是什么？

主要发现

• 函子 $\Delta_G$ 在具有可承认上同调模的光滑 $G$-模复形有界导出范畴 $\mathsf{D}^\mathsf{b}_{\mathsf{acp}}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k)$ 上提供了一个对合三角反等价。
• 通过共-余对应和导出函子构造 $\Delta_G$ 的方法，对原始光滑表示无任何有限性或可承认性假设。
• 对于特征为 $p$ 的域 $k$ 上的 $p$-进李群 $G$，导出对偶 $\Delta_G$ 是一个对合自反等价，将经典对偶性推广至非可承认模。
• 导出范畴 $\mathsf{D}^\mathsf{b}_{\mathsf{acp}}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_k)$ 严格大于 $\mathsf{D}^\mathsf{b}(G{\operatorname{\mathsf{--smooth}}}_{k,\mathsf{acp}})$，且它们之间的自然函子不是等价。
• 无法将对偶性扩展至可承认性共表示光滑模的导出范畴的障碍在于：已知的 $G$-余模的投射化解析未能保持在余承认模类中。
• 在特征 0 下，该结果适用于所有局部紧致的局部极大拓扑群，因为它们是局部拟余-诺特环且上同调维数为 0，从而确保该对偶性在此设定下也成立。