[论文解读] Smooth quotients of abelian surfaces by finite groups

Robert Auffarth, Giancarlo Lucchini Arteche+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

该论文对阿贝尔簇 $A = E^2$（其中 $E$ 为椭圆曲线）上的有限群作用进行分类，要求群作用固定原点且具有不可约解析表示，证明商簇 $A/G$ 光滑当且仅当 $A/G \simeq \mathbb{P}^2$。分类结果表明，对每个椭圆曲线 $E$，在同构意义下仅有有限多个此类对 $(E^2, G)$，从而完成了有限群作用下阿贝尔簇光滑商簇的分类。

ABSTRACT

Let $A$ be an abelian surface and let $G$ be a finite group of automorphisms of $A$ fixing the origin. Assume that the analytic representation of $G$ is irreducible. We give a classification of the pairs $(A,G)$ such that the quotient $A/G$ is smooth. In particular, we prove that $A=E^2$ with $E$ an elliptic curve and that $A/G\simeq\mathbb P^2$ in all cases. Moreover, for fixed $E$, there are only finitely many pairs $(E^2,G)$ up to isomorphism. This completes the classification of smooth quotients of abelian varieties by finite groups started by the first two authors.

研究动机与目标

• 对所有满足 $A$ 为阿贝尔曲面且 $G$ 为固定原点的有限自同构群、具有不可约解析表示的对 $(A, G)$ 进行分类。
• 确定哪些此类群作用可产生光滑商簇 $A/G$。
• 在作者先前工作的基础上，完成阿贝尔簇被有限群作用后光滑商簇的分类。
• 确立所有光滑商簇均形如 $A = E^2$ 且满足 $A/G \simeq \mathbb{P}^2$，且对每个椭圆曲线 $E$，仅有有限多个此类群。

提出的方法

• 利用 $G$ 的解析表示不可约这一假设，对原点处切空间上的群作用施加限制。
• 应用复环面及其商簇上有限群作用理论的相关结果。
• 利用阿贝尔曲面作为椭圆曲线乘积 $E^2$ 的结构，分析群作用。
• 通过不变量和模理论论证，对对 $(E^2, G)$ 的同构类进行分类。
• 运用表示论技巧分析 $G$ 在切空间上的作用及其对商簇奇点的影响。
• 利用几何与上同调约束，证明唯一可能的光滑商簇为 $\mathbb{P}^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群 $G$ 作用在阿贝尔曲面 $A$ 上，满足不可约解析表示且固定原点，使得商簇 $A/G$ 光滑？
• RQ2 当此类群作用下 $A/G$ 光滑时，阿贝尔曲面 $A$ 的结构如何？
• RQ3 $A/G$ 是否可能同构于 $\mathbb{P}^2$？若可以，对 $G$ 和 $A$ 的条件是什么？
• RQ4 对固定的椭圆曲线 $E$，有多少个非同构对 $(E^2, G)$ 满足 $A/G$ 光滑？
• RQ5 阿贝尔曲面情形下，有限群作用下阿贝尔簇光滑商簇的完整分类是什么？

主要发现

• 当 $A/G$ 光滑且 $G$ 具有不可约解析表示时，阿贝尔曲面 $A$ 必同构于某个椭圆曲线 $E$ 的平方 $E^2$。
• 在所有 $A/G$ 光滑的情形下，商簇 $A/G$ 同构于 $\mathbb{P}^2$。
• 对每个固定的椭圆曲线 $E$，仅有有限多个同构类的对 $(E^2, G)$ 满足 $A/G$ 光滑。
• 对具有不可约解析表示的有限群作用下阿贝尔曲面的光滑商簇分类是完整的。
• 该结果扩展并完成了作者先前启动的阿贝尔簇被有限群作用后光滑商簇的分类。