[论文解读] Smoothed Efficient Algorithms and Reductions for Network Coordination Games

Shant Boodaghians, Rucha Kulkarni+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Optimization and Search Problems被引用 4

一句话总结

本文提出了一类平滑的多项式时间算法，用于在具有常数策略集的网络协调博弈中寻找纯纳什均衡，通过一种新颖的平滑性保持型约化方法将问题转化为局部最大割问题，并结合先进的秩/并集界技术。该研究建立了完全图上的多项式平滑复杂度，以及一般图上的准多项式复杂度，突破了最坏情况下的PLS-完全性限制。

ABSTRACT

Worst-case hardness results for most equilibrium computation problems have raised the need for beyond-worst-case analysis. To this end, we study the smoothed complexity of finding pure Nash equilibria in Network Coordination Games, a PLS-complete problem in the worst case. This is a potential game where the sequential-better-response algorithm is known to converge to a pure NE, albeit in exponential time. First, we prove polynomial (resp. quasi-polynomial) smoothed complexity when the underlying game graph is a complete (resp. arbitrary) graph, and every player has constantly many strategies. We note that the complete graph case is reminiscent of perturbing all parameters, a common assumption in most known smoothed analysis results. Second, we define a notion of smoothness-preserving reduction among search problems, and obtain reductions from $2$-strategy network coordination games to local-max-cut, and from $k$-strategy games (with arbitrary $k$) to local-max-cut up to two flips. The former together with the recent result of [BCC18] gives an alternate $O(n^8)$-time smoothed algorithm for the $2$-strategy case. This notion of reduction allows for the extension of smoothed efficient algorithms from one problem to another. For the first set of results, we develop techniques to bound the probability that an (adversarial) better-response sequence makes slow improvements on the potential. Our approach combines and generalizes the local-max-cut approaches of [ER14,ABPW17] to handle the multi-strategy case: it requires a careful definition of the matrix which captures the increase in potential, a tighter union bound on adversarial sequences, and balancing it with good enough rank bounds. We believe that the approach and notions developed herein could be of interest in addressing the smoothed complexity of other potential and/or congestion games.

研究动机与目标

• 为解决计算网络协调博弈中纯纳什均衡的最坏情况难解性与实际效率之间的差距。
• 为多策略势博弈中局部改进算法的平滑分析建立一个框架。
• 建立网络协调博弈中纯纳什均衡计算的多项式与准多项式平滑复杂度。
• 提出从k策略网络协调博弈到最多两次翻转的局部最大割问题的平滑性保持型约化。
• 推广并统一局部最大割分析技术，以适用于势博弈中的多策略情形。

提出的方法

• 提出从k策略网络协调博弈到最多两次翻转的局部最大割问题的平滑性保持型约化，保持均衡结构不变。
• 引入基于矩阵的公式化方法以追踪势函数的增加，从而在对抗性更好响应序列上实现更紧的并集界。
• 对势函数增加矩阵实施新颖的秩界分析，以控制缓慢改进的概率。
• 通过行消去与上三角变换，证明约化构造中满秩整数系统的存在性。
• 采用混合方法，结合对抗性序列分析与概率扰动模型，以界定向平滑复杂度。
• 利用Bibak等人提出的O(n^8)-时间局部最大割平滑算法，推导出2策略网络协调博弈的另一种O(n^8)-时间平滑算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 网络协调博弈中的纯纳什均衡能否在平滑多项式时间内计算？
• RQ2 在一般网络协调博弈图上，顺序更好响应算法的平滑复杂度是多少？
• RQ3 能否通过平滑性保持型约化，将一种问题（如局部最大割）的高效平滑算法推广到其他问题？
• RQ4 如何利用秩与并集界技术，收紧多策略势博弈中更好响应序列的分析？
• RQ5 势函数的何种结构特性，使得协调博弈中能够获得更优的平滑复杂度界？

主要发现

• 当博弈图是完全图且每位玩家具有常数个策略时，顺序更好响应算法具有多项式平滑复杂度。
• 对于具有常数策略集的一般博弈图，顺序更好响应算法具有准多项式平滑复杂度。
• 建立了从k策略网络协调博弈到最多两次翻转的局部最大割问题的平滑性保持型约化，使平滑算法得以转移。
• 对于2策略博弈，该约化结合先前对局部最大割问题的O(n^8)-时间平滑算法，可导出2策略网络协调博弈的另一种O(n^8)-时间平滑算法。
• 基于矩阵的势函数增加追踪方法实现了更紧的并集界与更优的秩控制，将先前的局部最大割技术推广至多策略情形。
• 该框架表明，由于扰动实例中具有有利的秩与概率结构，对抗性更好响应序列极不可能进展缓慢。