[论文解读] Solution to the Hidden Subgroup Problem for a Class of Noncommutative Groups

Demerson Nunes Gonçalves, Renato Portugal|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多项式时间的量子算法，可在条件 $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ 下求解非交换群 $\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 的隐藏子群问题（HSP），其中 $p$ 和 $q$ 为不同的奇素数，$r,s$ 为正整数。该算法通过阿贝尔量子傅里叶变换与结构化测量程序，将 HSP 约化为寻找循环子群的问题，成功概率大于 $1/2$。

ABSTRACT

The hidden subgroup problem (HSP) plays an important role in quantum computation, because many quantum algorithms that are exponentially faster than classical algorithms can be casted in the HSP structure. In this paper, we present a new polynomial-time quantum algorithm that solves the HSP over the group $\Z_{p^r} times \Z_{q^s}$, when $p^r/q= \up{poly}(\log p^r)$, where $p$, $q$ are any odd prime numbers and $r, s$ are any positive integers. To find the hidden subgroup, our algorithm uses the abelian quantum Fourier transform and a reduction procedure that simplifies the problem to find cyclic subgroups.

研究动机与目标

• 为一类非交换群 $\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 高效求解隐藏子群问题（HSP），扩展已知的阿贝尔群及更简单非交换群的结果。
• 通过允许更高的幂次 $p^r$ 和 $q^s$，推广先前针对 $\mathbb{Z}_p\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 和 $\mathbb{Z}_N\rtimes\mathbb{Z}_q$ 的 HSP 量子算法。
• 建立在何种条件下，该类群中的 HSP 可通过量子傅里叶变换约化为寻找循环子群的问题。
• 在给定参数约束下，以大于 $1/2$ 的成功概率在多项式时间内识别隐藏子群。

提出的方法

• 该算法在 $\mathbb{Z}_{p^r}$ 分量上使用阿贝尔量子傅里叶变换，从隐藏子群的函数 $f$ 中提取周期性结构。
• 应用一种约化程序，将非阿贝尔 HSP 转化为识别阶为 $q^t$ 的循环子群的问题，其中 $t \leq s$。
• 在测量后应用一个受控酉操作 $U$，将状态与隐藏参数 $a$ entangle，利用函数 $S(n)$ 在 $\mathbb{Z}_{q^{t-j}}$ 上的单射性。
• 对编码参数 $a$ 的态应用逆量子傅里叶变换，使其以每轮概率 $q/p^r$ 被提取。
• 该算法重复 $O(\text{poly}(\log p^r))$ 次，以将成功概率放大至大于 $1/2$。
• 该构造依赖于群结构，其中 $\alpha = u^{k}$，$k = \frac{lp^{r-1}(p-1)}{q^t}$，确保 $\alpha^{q^t} \equiv 1 \pmod{p^r}$，且 $\text{ord}(\alpha) = q^t$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在条件 $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ 下，$\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 中的 HSP 是否可在量子多项式时间内高效求解？
• RQ2 如何将该类群中的非阿贝尔 HSP 约化为寻找循环子群的问题？
• RQ3 当群为非阿贝尔时，阿贝尔量子傅里叶变换在提取隐藏子群结构中起到何种作用？
• RQ4 为何该算法无法推广至 $t > 1$，原因在于关键算子 $U$ 的非幺正行为？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至其他非阿贝尔群，使用非阿贝尔傅里叶变换？

主要发现

• 当 $p^r/q = \text{poly}(\log p^r)$ 时，$\mathbb{Z}_{p^r}\rtimes\mathbb{Z}_{q^s}$ 中的 HSP 可在多项式时间内求解，推广了 $r=1$ 或 $s=1$ 时的先前结果。
• 该算法将 HSP 约化为寻找阶为 $q^t$ 的循环子群问题，其中仅当 $t=1$ 时可构造出用于提取隐藏参数 $a$ 的酉算子 $U$。
• 每轮测量正确参数 $a$ 的成功概率为 $q/p^r$，重复算法 $O(\text{poly}(\log p^r))$ 次可使总成功概率大于 $1/2$。
• 该算法仅使用阿贝尔量子傅里叶变换与基于测量的约化即可达成目标，无需使用非阿贝尔傅里叶变换。
• 该结果推广了 Bacon 等人 [10]（$s=1$ 时）与 Gonçalves 等人 [11]（$r=1$ 时）的工作，将两者统一于同一框架下。
• 当 $t > 1$ 时，函数 $S(n)$ 的非单射性阻止了酉算子 $U$ 的构造，因此该算法仅适用于 $t=1$ 的情形。