[论文解读] Solving path dependent PDEs with LSTM networks and path signatures

Marc Sabate‐Vidales, David Šiška+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 40被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的深度学习框架，结合LSTM网络与路径签名，用于求解金融衍生品定价与对冲中出现的参数化路径依赖PDE（PPDE）。通过利用鞅表示定理，该方法实现了无偏估计及置信区间，实现了在随机波动率模型下对回望期权和自动敲出期权的定价与对冲策略的高精度。

ABSTRACT

Using a combination of recurrent neural networks and signature methods from the rough paths theory we design efficient algorithms for solving parametric families of path dependent partial differential equations (PPDEs) that arise in pricing and hedging of path-dependent derivatives or from use of non-Markovian model, such as rough volatility models in Jacquier and Oumgari, 2019. The solutions of PPDEs are functions of time, a continuous path (the asset price history) and model parameters. As the domain of the solution is infinite dimensional many recently developed deep learning techniques for solving PDEs do not apply. Similarly as in Vidales et al. 2018, we identify the objective function used to learn the PPDE by using martingale representation theorem. As a result we can de-bias and provide confidence intervals for then neural network-based algorithm. We validate our algorithm using classical models for pricing lookback and auto-callable options and report errors for approximating both prices and hedging strategies.

研究动机与目标

• 开发高效的深度学习算法，用于求解非马氏金融模型（如粗糙波动率模型）中出现的参数化路径依赖PDE（PPDE）族。
• 通过使用路径签名和LSTM将路径编码为有限维表示，解决无限维路径依赖的挑战。
• 通过学习整个参数空间（包括模型参数与路径历史）中的解，实现快速模型校准。
• 提供对梯度∇ωF的精确近似，其在衍生品定价中对应对冲策略。
• 利用鞅表示定理对神经网络近似进行去偏处理，并提供后验置信区间。

提出的方法

• 通过Feynman–Kac公式以概率方式表示PPDE的解，从而支持蒙特卡洛采样用于训练。
• 使用路径签名将连续路径ω ∈ C([0,T]; ℝ^d)编码为有限维向量，高效捕捉路径依赖信息。
• 采用LSTM网络对路径的非预测性泛函进行建模，实现对资产价格历史序列的建模。
• 应用鞅表示定理构建损失函数，使训练目标能够实现去偏处理与置信区间估计。
• 提出两种训练算法：一种使用条件期望（算法2），另一种使用鞅表示（算法3），以实现更优的方差控制。
• 该方法联合学习PPDE解F(t, ω; β)及其路径导数∇ωF，后者在金融应用中对应对冲策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 LSTM网络结合路径签名是否能有效近似高维路径空间中参数化路径依赖PDE族的解？
• RQ2 能否利用鞅表示定理构建训练目标，使基于深度学习的PPDE求解器实现去偏处理与置信区间估计？
• RQ3 与前馈网络相比，该方法在路径依赖期权定价与对冲中的精度与效率如何？
• RQ4 该方法在多大程度上可通过学习连续参数空间β ∈ B中的解，实现快速模型校准？
• RQ5 该方法能否准确恢复复杂衍生品（如回望期权与自动敲出期权）的对冲策略∇ωF？

主要发现

• 在几何布朗运动下的回望期权中，采用鞅表示与路径签名输入，该方法实现了6.47×10⁻³的积分误差与3.6×10⁻²的对冲误差。
• 在Heston模型下的自动敲出期权中，该方法实现了1.4×10⁻²的积分误差与1.8×10⁻²的对冲误差，预测价格与蒙特卡洛价格之间的相关系数为0.948。
• 基于LSTM的模型在路径签名输入下优于前馈网络，在捕捉路径依赖动态与对冲敏感性方面表现更优。
• 利用鞅表示定理使无偏估计器与有效置信区间得以构建，适用于神经网络预测。
• 该框架成功学习了完整的参数化解族，实现了跨不同模型参数的快速模型校准与实时定价。
• 该方法在不同波动率水平与路径依赖收益结构（包括障碍与自动敲出特征）下表现出稳健性。