[论文解读] Solving Problems on Graphs of High Rank-Width

Eduard Eiben, Robert Ganian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文引入了结构良好的数（wsn^H），这是一种结合调制器大小与秩宽的混合参数，用于在具有大但结构良好的调制器的图上实现固定参数可满足性（FPT）算法。本文提出了一个FPT算法，用于计算由有限禁止诱导子图定义的图类的wsn^H，并证明了当以wsn^H为参数时，可用一阶第二阶逻辑（MSO）表达的问题是FPT可解的，而LinEMSO问题则不是，从而证明了该结果的紧致性。

ABSTRACT

A modulator of a graph G to a specified graph class H is a set of vertices whose deletion puts G into H. The cardinality of a modulator to various tractable graph classes has long been used as a structural parameter which can be exploited to obtain FPT algorithms for a range of hard problems. Here we investigate what happens when a graph contains a modulator which is large but "well-structured" (in the sense of having bounded rank-width). Can such modulators still be exploited to obtain efficient algorithms? And is it even possible to find such modulators efficiently? We first show that the parameters derived from such well-structured modulators are strictly more general than the cardinality of modulators and rank-width itself. Then, we develop an FPT algorithm for finding such well-structured modulators to any graph class which can be characterized by a finite set of forbidden induced subgraphs. We proceed by showing how well-structured modulators can be used to obtain efficient parameterized algorithms for Minimum Vertex Cover and Maximum Clique. Finally, we use well-structured modulators to develop an algorithmic meta-theorem for deciding problems expressible in Monadic Second Order (MSO) logic, and prove that this result is tight in the sense that it cannot be generalized to LinEMSO problems.

研究动机与目标

• 开发一种新的结构参数，结合调制器大小与秩宽，以捕捉更复杂的图结构。
• 设计一个FPT算法，用于计算由有限禁止诱导子图定义的图类H的结构良好数wsn^H。
• 证明当参数化为wsn^H时，如最小顶点覆盖和最大团等问题在目标类H上可解的情况下，成为FPT可解问题。
• 建立一个以wsn^H为参数的FPT MSO模型检测的元定理，证明其必要性与紧致性。
• 展示当以wsn^H为参数时，LinEMSO问题无法在FPT时间内求解，从而揭示该方法的边界。

提出的方法

• 将结构良好数wsn^H(G)定义为任意调制器到图类H的最小秩宽，利用拆分分解与秩宽分解。
• 结合多项式时间的拆分分解算法与秩宽的FPT算法，在FPT时间内计算wsn^H。
• 在秩分解上应用动态规划，以参数化wsn^H求解最小顶点覆盖与最大团问题。
• 通过将问题在H上的可解性与wsn^H参数结合，建立一个FPT MSO模型检测的元定理。
• 从度数≤3且不含C4的图上的支配集问题构造归约，证明当以wsn^H为参数时，MSO-Opt^≤_φ为paraNP难，从而证明紧致性。
• 使用代表性集合与在关系≡下的等价类，以限制搜索空间并确保分支算法的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用大但结构良好的调制器（具有有界秩宽）来获得NP难图问题的FPT算法？
• RQ2 对于由有限禁止诱导子图集合定义的图类H，是否能在FPT时间内计算结构良好数wsn^H？
• RQ3 当以wsn^H为参数时，可用一阶第二阶逻辑（MSO）表达的问题是否为FPT可解？
• RQ4 H上FPT可解性条件是否为以wsn^H为参数的FPT MSO模型检测所必需的？
• RQ5 当以wsn^H为参数时，LinEMSO问题是否能在FPT时间内求解，还是该界限是紧致的？

主要发现

• 结构良好数wsn^H严格强于调制器大小与秩宽，从而可支持更广泛的算法应用。
• 对于具有有限障碍集的任意图类H，存在一个FPT算法用于计算wsn^H，该算法结合了拆分分解与秩宽计算。
• 当在目标类H上可多项式时间求解时，最小顶点覆盖与最大团问题在以wsn^H为参数时为FPT可解。
• 一个元定理表明，当以wsn^H为参数时，若问题在以调制器大小为参数时为FPT可解，则MSO模型检测为FPT可解。
• H上FPT可解性条件是元定理所必需的，这通过MSO-Opt^≤_φ以wsn^H为参数时的paraNP难性结果得到证明。
• 当以wsn^H为参数时，LinEMSO问题无法在FPT时间内求解，表明该元定理是紧致的，且无法推广至LinEMSO。