[论文解读] Solving Quadratic Unconstrained Binary Optimization with divide-and-conquer and quantum algorithms

Gian Giacomo Guerreschi|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用 17

一句话总结

本文提出一种分而治之的方法，通过利用社区检测与变量约简，将二次无约束二值优化（QUBO）问题的规模减小，将其转化为更小的多项式无约束二值优化（PUBO）实例。当与量子近似优化算法（QAOA）结合使用时，该方法在随机3-正则图上的最大割问题中将所需量子比特数减少约42%，并提升解的质量，而经典求解器则未从该重构中获益。

ABSTRACT

Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO) is a broad class of optimization problems with many practical applications. To solve its hard instances in an exact way, known classical algorithms require exponential time and several approximate methods have been devised to reduce such cost. With the growing maturity of quantum computing, quantum algorithms have been proposed to speed up the solution by using either quantum annealers or universal quantum computers. Here we apply the divide-and-conquer approach to reduce the original problem to a collection of smaller problems whose solutions can be assembled to form a single Polynomial Binary Unconstrained Optimization instance with fewer variables. This technique can be applied to any QUBO instance and leads to either an all-classical or a hybrid quantum-classical approach. When quantum heuristics like the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) are used, our proposal leads to a double advantage: a substantial reduction of quantum resources, specifically an average of ~42% fewer qubits to solve MaxCut on random 3-regular graphs, together with an improvement in the quality of the approximate solutions reached.

研究动机与目标

• 为降低计算复杂度高的QUBO问题的计算复杂度，这类问题为NP难问题，通常需要指数时间才能获得精确解。
• 通过减少求解QUBO问题所需的量子比特数量，缓解近期量子计算机在量子比特数量上的限制。
• 探索通过分而治之策略将QUBO重构为PUBO是否能提升使用量子启发式算法（如QAOA）时的性能。
• 评估经约简的PUBO实例是否更适用于量子或经典求解器，特别是在混合量子-经典工作流中。

提出的方法

• 应用社区检测算法将原始QUBO图划分为子图，从而实现分解为更小、独立的优化子问题。
• 使用一种新型变量约简技术在每个子图内合并变量，将原始QUBO转化为变量更少的PUBO实例。
• 通过系统性变换将所得PUBO重构成Max-SAT实例，该变换将k体相互作用映射为2^{k-1}个带权子句。
• 将量子近似优化算法（QAOA）适配用于求解约简后的PUBO实例，利用其变分特性处理更高次多项式项。
• 使用快速沃尔什-哈达玛变换高效计算QAOA哈密顿量中的系数，从而实现高效量子线路构建。
• 将该方法集成到全经典及混合量子-经典流水线中，后者利用量子优势提升近似质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于社区检测的分而治之策略是否能在不增加计算难度的前提下减少QUBO问题中的变量数量？
• RQ2 通过变量约简将QUBO转化为PUBO是否能提升使用量子启发式算法（如QAOA）时的性能？
• RQ3 量子比特数量的减少是否足够显著，使得原本不可行的QUBO问题能在近期量子设备上求解？
• RQ4 为何重构后的PUBO实例能提升QAOA性能，却无法提升经典精确求解器（如akmaxsat）的性能？
• RQ5 从QUBO到PUBO的变换是否能高效实现并可扩展，且经典预处理阶段的开销最小？

主要发现

• 在使用QAOA时，针对随机3-正则图上的最大割问题，该分而治之方法将变量数量减少了约42%。
• 对于4-正则图，变量减少比例约为22%，表明该方法在不同图类型下具有可扩展性。
• 重构后的PUBO实例未提升经典精确求解器（如akmaxsat）的性能，表明该优势仅针对量子启发式算法。
• QAOA在约简后的PUBO实例上获得了更优的近似解，表明该变换增强了量子算法的有效性。
• 该方法实现了混合量子-经典工作流，显著减少了量子资源需求，使更大规模的QUBO问题可在当前的含噪声中等规模量子（NISQ）设备上求解。
• 通过带权子句从QUBO到SAT的变换保持了目标函数值的恒定偏移，从而可忠实地映射至Max-SAT求解器，用于经典验证。