[论文解读] Solving the Hubbard model using density matrix embedding theory and the variational quantum eigensolver

Lana Mineh, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 50被引用 18

一句话总结

本文提出一种混合量子-经典方法，结合密度矩阵嵌入理论（DMET）与变分量子本征求解器（VQE），在近期量子计算机上求解 Hubbard 模型。通过使用 DMET 将完整晶格问题映射到更小的嵌入哈密顿量，该方法降低了量子比特需求，同时利用 VQE 实现了高保真度的基态能量与可观测量计算，在高达 16 量子比特的数值模拟中取得优异结果。

ABSTRACT

Calculating the ground state properties of a Hamiltonian can be mapped to the problem of finding the ground state of a smaller Hamiltonian through the use of embedding methods. These embedding techniques have the ability to drastically reduce the problem size, and hence the number of qubits required when running on a quantum computer. However, the embedding process can produce a relatively complicated Hamiltonian, leading to a more complex quantum algorithm. In this paper we carry out a detailed study into how density matrix embedding theory (DMET) could be implemented on a quantum computer to solve the Hubbard model. We consider the variational quantum eigensolver (VQE) as the solver for the embedded Hamiltonian within the DMET algorithm. We derive the exact form of the embedded Hamiltonian and use it to construct efficient ansatz circuits and measurement schemes. We conduct detailed numerical simulations up to 16 qubits, the largest to date, for a range of Hubbard model parameters and find that the combination of DMET and VQE is effective for reproducing ground state properties of the model.

研究动机与目标

• 开发一种基于嵌入技术的可扩展量子算法，用于求解 Hubbard 模型。
• 通过 VQE 算法在量子计算机上实现 DMET，以计算基态能量与可观测量。
• 分析嵌入哈密顿量的量子线路复杂度，并优化量子态 ansatz 设计与测量流程。
• 评估 DMET-VQE 方法在不同片段尺寸与 Hubbard 模型参数下的准确性与可扩展性。
• 提供电路深度与测量轮次的详细复杂度分析，以支持实际硬件实现。

提出的方法

• 使用单次 DMET 将完整 Hubbard 模型哈密顿量映射为大小为 4Nfrag 量子比特的更小嵌入哈密顿量，其中 Nfrag 为片段大小。
• 推导出嵌入哈密顿量的精确形式，包括片段与 bath 之间的相互作用，从而实现精确的量子线路构建。
• 采用哈密顿量变分（HV）ansatz 并结合费米子交换网络，以高效实现纠缠门并减少线路深度。
• 设计测量方案，通过分组 Pauli 项并利用对称性，最小化线路准备次数。
• 应用统计噪声感知的测量协议，以模拟真实 NISQ 设备的约束条件。
• 使用精确对角化基准进行数值模拟，以验证 VQE 的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 DMET 与 VQE 结合是否能准确再现 1D 与 2D Hubbard 模型在量子硬件上的基态性质？
• RQ2 量子线路复杂度（以两量子比特门深度与线路准备次数衡量）如何随片段大小与系统维度变化而变化？
• RQ3 统计噪声对嵌入式 DMET 框架中 VQE 收敛性与可观测量精度有何影响？
• RQ4 费米子交换网络如何提升嵌入系统中 VQE ansatz 实现的效率？
• RQ5 DMET-VQE 方法在资源效率与精度方面，相较于直接截断方法有多大优势？

主要发现

• DMET-VQE 方法能以高精度再现 Hubbard 模型的基态能量与可观测量，其结果与精确对角化及 Bethe ansatz 解高度一致。
• 对于 4×4 片段（16 量子比特），每层 ansatz 需要 30 深度的两量子比特门，共需 32 次线路准备以测量所有哈密顿量项。
• 即使在测量中存在统计噪声的情况下，该方法仍能实现准确结果，展现出在真实 NISQ 条件下的鲁棒性。
• 与直接截断方法相比，该方法的线路深度与测量成本随片段大小增长更迅速——例如，4×8 Hubbard 模型仅需深度 9 与 5 次准备。
• 费米子交换网络实现了高效的 ansatz 实现，降低了线路深度，提升了大尺寸片段的可扩展性。
• 本研究首次对 DMET 与 VQE 的完整量子线路复杂度进行了分析，为未来硬件实现提供了实用指导。