[论文解读] On the existence of 0/1 polytopes with high semidefinite extension complexity

Jop Briët, Daniel Dadush+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 20

一句话总结

本文通過構造一組整數多邊形，證明了存在 0/1 多面體的半定擴展複雜度呈指數級增長，其半定擴展複雜度隨頂點數 d 增長為 Ω((d/log d)^{1/4})。證明依賴於一種針對半定因子分解的新型重標度技術，以及一個推廣的四捨五入引理，用以界定可能的因子分解數量，從而證明任何投影至此類多面體的譜半定多面體在最壞情況下必須具有 2^{Ω(n)} 的維度。

ABSTRACT

In Rothvoß it was shown that there exists a 0/1 polytope (a polytope whose vertices are in \{0,1\}^{n}) such that any higher-dimensional polytope projecting to it must have 2^{Ω(n)} facets, i.e., its linear extension complexity is exponential. The question whether there exists a 0/1 polytope with high PSD extension complexity was left open. We answer this question in the affirmative by showing that there is a 0/1 polytope such that any spectrahedron projecting to it must be the intersection of a semidefinite cone of dimension~2^{Ω(n)} and an affine space. Our proof relies on a new technique to rescale semidefinite factorizations.

研究动机与目标

• 為了解決 Rothvoß 對線性擴展複雜度的結果後，關於是否存在 0/1 多面體具有高半定擴展複雜度的開放問題。
• 透過證明半定擴展複雜度的強下界，將擴展形式框架從線性推廣至半定規劃。
• 開發一種針對半定因子分解的新重標度方法，以實現具有超多項式 PSD 擴展複雜度的多面體構造。
• 將線性擴展複雜度中使用的計數論證推廣至半定設定，並適應於譜半定表示。
• 證明即使在最壞情況下，0/1 多面體的線性與半定擴展形式之間的複雜度差距依然存在。

提出的方法

• 將推廣的四捨五入引理（引理 3）適應於界定具有有界頂點坐標的 0/1 多面體的鬆弛矩陣可能的半定因子分解數量。
• 使用重標度技術將任意半定因子分解轉換為具有有界有理係數的形式，從而支援計數論證。
• 應用計數論證，計算可表示具有 d 個頂點且頂點位於 [2d]×[4d²] 內的 d-邊形的獨立線性與半定約束系統的數量。
• 建立此類系統數量的上界為 (cd¹⁴)^{(3+R²)²}，其中 R 為半定擴展複雜度，進而導出 R 的下界。
• 利用從大小為 d 的凸獨立點集構造出的相異 d-邊形數量超過可小因子分解系統數量的事實，強制 R 必須很大。
• 採用鬆弛矩陣的半定秩作為半定擴展複雜度的代理指標，並根據 Yannakakis 定理向譜半定擴展的推廣。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 0/1 多面體，其半定擴展複雜度在維度上呈指數級高？
• RQ2 用於線性擴展複雜度的基於計數的下界技術能否延伸至半定設定？
• RQ3 是否存在系統性方法對半定因子分解進行重標度，以在半定情況下支援組合計數論證？
• RQ4 0/1 多面體的半定擴展複雜度是否比其線性擴展複雜度增長更快？
• RQ5 是否能 tighten 或證明對多邊形的半定擴展複雜度下界為緊緻？

主要发现

• 存在一個 0/1 多面體（具體而言，頂點位於 [2d]×[4d²] 的 d-邊形），其半定擴展複雜度為 Ω((d/log d)^{1/4})。
• 此類多邊形的鬆弛矩陣的相異半定因子分解數量被限制在 (cd¹⁴)^{(3+R²)²} 之內，其中 R 為擴展複雜度。
• 計數論證表明 R ≥ c′(d/log d)^{1/4}，其中 c′ > 0 為某常數，從而確立了超多項式下界。
• 該構造證明，任何投影至此多面體的譜半定多面體，必須與維度為 2^{Ω(n)} 的半定錐相交於一個仿射空間。
• 結果確認，半定擴展複雜度可對 0/1 多面體呈指數級高，與 Rothvoß 對線性擴展複雜度的結果一致。
• 本文引入一種針對半定因子分解的新重標度技術，使組合計數方法能應用於半定擴展複雜度。