[论文解读] Some approximation results by Bernstein-Kantorovich operators based on (p,q)-integers

M. Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文引入了$(p,q)$-Bernstein-Kantorovich算子作为$q$-类比算子的推广，增强了函数逼近的灵活性。通过Korovkin定理和模连续性，作者建立了收敛速度和局部逼近性质，理论分析与图形比较表明，该算子在收敛灵活性方面优于$q$-算子。

ABSTRACT

In this paper, First we have given the modified form of (p,q)-analogues of Bernstein and Bernstein operators [21-23] and then we introduce a new analogue of Bernstein-Kantorovich operators which we call as (p,q)-Bernstein-Kantorovich operators. We discuss approximation properties for these operators based on Korovkin's type approximation theorem and we compute the order of convergence using usual modulus of continuity and also the rate of convergence when f is a Lipschitz function. Moreover, we also study the local approximation property of the (p,q)-Kantorovich operators . We show comparisons and some illustrative graphics for the convergence of operators to a function. In comparison to q-analogoue of Bernstein-Kantorovich operators, our generalization gives more flexibility for the convergence of operators to a function.

研究动机与目标

• 提出一种基于$(p,q)$-微积分的$(p,q)$-Bernstein-Kantorovich算子的新推广，以提升逼近灵活性。
• 利用Korovkin型定理分析所提出的$(p,q)$-Bernstein-Kantorovich算子的逼近性质。
• 通过模连续性计算函数在Lipschitz类$\mathrm{Lip}_M(\alpha)$中的收敛阶。
• 利用二阶$K$-泛函和Peetre的$K$-泛函研究序列$K_n^{(p,q)}$的局部逼近行为。

提出的方法

• 基于$(p,q)$-整数提出新算子$K_n^{(p,q)}(f;x)$，推广$q$-Bernstein-Kantorovich算子。
• 定义$(p,q)$-微积分框架，包括$(p,q)$-整数、$(p,q)$-二项式系数和$(p,q)$-积分。
• 建立算子$K_n^{(p,q)}$的矩估计基本引理，以支持收敛性分析。
• 应用Korovkin定理证明连续函数在$[0,1]$上的一致收敛性。
• 利用模连续性和$K$-泛函推导收敛速度的定量估计。
• 使用MATLAB生成图形比较，以说明不同$p$、$q$和$n$值下的收敛行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(p,q)$-Bernstein-Kantorovich算子在函数逼近中相比$q$-类比如何提升收敛灵活性？
• RQ2 使用通常的模连续性时，所提出的$(p,q)$-算子的收敛阶是多少？
• RQ3 当函数$f$属于Lipschitz类$\mathrm{Lip}_M(\alpha)$时，其收敛速率如何？
• RQ4 $K_n^{(p,q)}$的局部逼近性质表现如何，其定量估计是什么？
• RQ5 图形示例在多大程度上展示了$(p,q)$-算子相较于$q$-算子在收敛速度和精度上的优越性？

主要发现

• 所提出的$(p,q)$-Bernstein-Kantorovich算子在$n \to \infty$时，对$[0,1]$上连续函数一致收敛，满足Korovkin条件。
• 利用模连续性估计收敛阶为$O(\delta_n^2(x))$，其中$\delta_n^2(x)$为算子的二阶矩。
• 对于属于$\mathrm{Lip}_M(\alpha)$的函数，收敛速率为$O\left(\left(\frac{p^n}{[n]_{p,q}}\right)^{\alpha/2}\right)$，显示出对$p$、$q$和$n$的依赖性。
• 局部逼近误差被界定为$C \omega_2(f, \delta_n(x)) + \omega(f, \alpha_n(x))$，其中$\omega_2$为二阶模连续性，$\alpha_n(x) = \frac{p^n}{[2]_{p,q}[n]_{p,q}}$。
• 图形结果证实，当$p \to 1^-$且$q \to 1^-$，且满足$0 < q < p \leq 1$时，算子比$q$-类比更灵活、更快速地收敛到$f(x) = 1 + \sin(7x)$。
• $K$-泛函方法得出定量估计：$\left|K_n^{(p,q)}(f;x) - f(x)\right| \leq 4K_2(f, \delta_n^2(x)) + \omega\left(f, \frac{p^n}{[2]_{p,q}[n]_{p,q}}\right)$，证实了其收敛性与最优光滑性依赖性。