[论文解读] Some Bounds on Binary LCD Codes

Lucky Galvez, Jon-Lark Kim+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文确定了二元 $[n,k,d]$ LCD 码中最大最小距离 $d$ 的精确值 $LCD[n,k]$，其中 $1 \leq k \leq n \leq 12$，并证明了当 $i \geq 2$ 且 $n \geq 2^i$ 时，$LCD[n,n-i] = 2$。此外，本文推导出递归上界：当 $k$ 为奇数时，$LCD[n,k] \leq LCD[n,k-1]$；当 $k$ 为偶数时，$LCD[n,k] \leq LCD[n,k-2]$，方法基于主子矩阵与生成矩阵行列式分析。

ABSTRACT

A linear code with a complementary dual (or LCD code) is defined to be a linear code $C$ whose dual code $C^{\perp}$ satisfies $C \cap C^{\perp}$= $\left\{ \mathbf{0} ight\} $. Let $LCD{[}n,k{]}$ denote the maximum of possible values of $d$ among $[n,k,d]$ binary LCD codes. We give exact values of $LCD{[}n,k{]}$ for $1 \le k \le n \le 12$. We also show that $LCD[n,n-i]=2$ for any $i\geq2$ and $n\geq2^{i}$. Furthermore, we show that $LCD[n,k]\leq LCD[n,k-1]$ for $k$ odd and $LCD[n,k]\leq LCD[n,k-2]$ for $k$ even.

研究动机与目标

• 确定小参数 $n \leq 12$ 时，二元 $[n,k,d]$ LCD 码的最大最小距离 $d$ 的精确值 $LCD[n,k]$。
• 基于码维数 $k$ 建立 $LCD[n,k]$ 的结构界限，证明其在特定奇偶性条件下关于 $k$ 非增。
• 研究高最小距离 LCD 码的存在性与非存在性，特别是当 $n$ 为偶数或奇数且 $d$ 接近 $n$ 时的情形。
• 利用新界限与穷举搜索，修正并更新先前报告的 $LCK[n,d]$ 值（即给定 $n,d$ 时的最大 $k$）。

提出的方法

• 作者利用 Griesmer 不等式推导 $[n,k,d]$ 码的 $d$ 上限，特别是针对 $k=2$ 的情形，并通过构造显式生成矩阵实现这些界限。
• 他们应用命题 2.2，即码为 LCD 当且仅当 $\det(GG^T) \neq 0$，以验证所构造码的 LCD 性质。
• 对于递归界限，他们分析生成矩阵的主子矩阵，并利用秩论证将 $LCD[n,k]$ 与 $LCD[n,k-1]$ 及 $LCD[n,k-2]$ 关联起来。
• 他们通过证明：当 $i \geq 2$ 且 $n \geq 2^i$ 时，不存在最小距离 $d > 2$ 的此类码，从而证明 $LCD[n,n-i] = 2$，原因在于奇偶性与维数约束。
• 他们使用 MAGMA 进行穷举搜索，计算小参数 $n,k$ 下的 $LCD[n,k]$，验证结果并修正先前 $LCK[n,d]$ 表格中的错误。
• 他们推导出一般性非存在条件：当 $n$ 为偶数且 $n > 6i$ 时，$LCK[n,n-2i] = 0$；当 $n$ 为奇数且 $n > 6i+3$ 时，$LCK[n,n-2i-1] = 0$，方法基于 Griesmer 不等式与奇偶性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $1 \leq k \leq n \leq 12$，$LCD[n,k]$ 的精确值是什么？
• RQ2 二元 LCD 码的最大最小距离 $d$ 是否能以 $k$ 为变量进行递归界定，且 $k$ 的奇偶性如何影响这一关系？
• RQ3 当 $n \geq 2^i$ 且 $i \geq 2$ 时，$LCD[n,n-i]$ 是否恒等于 2？原因是什么？
• RQ4 为何某些高距离 LCD 码（如 $d=n$ 或 $d=n-1$）在偶数 $n$ 时不存在？
• RQ5 如何利用新理论界限与穷举计算，修正先前报告的 $LCK[n,d]$ 值？

主要发现

• 对所有 $1 \leq k \leq n \leq 12$，计算出 $LCD[n,k]$ 的精确值，且当 $n \equiv 1, \pm 2, 3 \pmod{6}$ 时，有 $LCD[n,2] = \left\lfloor \frac{2n}{3} \right\rfloor$。
• 当 $i \geq 2$ 且 $n \geq 2^i$ 时，证明了 $LCD[n,n-i] = 2$，表明对维数为 $n-i$ 的码，最小距离存在严格上界。
• $LCD[n,k]$ 关于 $k$ 非增：当 $k$ 为奇数时，$LCD[n,k] \leq LCD[n,k-1]$；当 $k$ 为偶数时，$LCD[n,k] \leq LCD[n,k-2]$，该结论通过主子矩阵秩分析建立。
• 本文修正了文献中先前错误的 $LCK[n,d]$ 值，特别指出当 $n$ 为偶数且 $d = n-2i$ 时，若 $n > 6i$，则 $LCK[n,d] = 0$；当 $n$ 为奇数且 $d = n-2i-1$ 时，若 $n > 6i+3$，则 $LCK[n,d] = 0$。
• MAGMA 的穷举搜索验证了计算出的 $LCD[n,k]$ 值，并证实了小参数下的理论界限。
• 本文表明，二元 $[n,k,d]$ LCD 码的最大可能最小距离受 Griesmer 不等式与奇偶性约束，尤其在 $k=2$ 时表现显著。