研究动机与目标

提出的方法

在一致凸的巴拿赫空间 $ X $ 上，构造一维参数族 $ C^1 $-泛函 $ I_\lambda(u) = A(u) - \lambda B(u) $，其中 $ \lambda \to 1 $ 为关注的参数。
施加四个抽象假设：$ B $ 及其导数有界，存在临界点 $ u_\lambda $ 且其能量水平 $ c_\lambda $ 一致有界，当 $ \lambda \to 1 $ 时 $ u_\lambda $ 有界，且极限泛函 $ I_1 $ 满足Palais-Smale条件。
对极限泛函 $ I_1 $ 应用山路定理，以确保在 $ S $（有界区间）中某水平 $ c \in S $ 处存在临界点。
利用 $ u_\lambda $ 在 $ \lambda \to 1 $ 时的收敛性，证明在极限临界点唯一时解族的连续性。
将抽象框架应用于两类PDE：$ \mathbb{R}^N $ 上的自治方程与有界区域上的非齐次问题。
通过Sobolev嵌入、一致有界性及椭圆正则性，在具体设定中验证抽象假设。

对于自治方程 $ -\Delta u + \lambda u = g(u) $ 在 $ \mathbb{R}^N $ 上，若 $ g $ 满足超线性与亚临界增长条件，且每个 $ \lambda $ 下正解唯一，则解映射 $ \lambda \mapsto u_\lambda $ 连续。
对于有界区域上的非齐次问题 $ -\Delta u = |u|^{p-1}u + f(x) $，存在 $ \alpha > 0 $，使得当 $ \|f\|_q \leq \alpha $ 时，即使 $ f $ 变号，仍存在正解。
在Palais-Smale条件成立的前提下，抽象极小极大框架保证任意满足 $ \lambda_n \to 1 $ 的序列 $ u_{\lambda_n} $（至多取子列）收敛于极限泛函 $ I_1 $ 的临界点。
在不假设 $ f \geq 0 $ 的前提下，通过Palais-Smale序列的收敛性与极限情形下的最大值原理，证明了小 $ \|f\|_q $ 时正解的存在性。
证明依赖于：$ I_f $ 的Palais-Smale序列有界且在 $ H^1_0(\Omega) $ 中强收敛，从而在 $ f \to 0 $ 时极限处得到非平凡非负解，再通过强最大值原理证明其为正解。
该方法允许存在第二个解作为局部极小点，但该解在 $ f \to 0 $ 时趋于零，故不贡献于正性。