[论文解读] Some geometric equivariant cohomology theories

Haggai Tene|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过分层流形提出了一种等变上同调理论的几何构造，借助一种称为反向（上）同调的新理论建立了庞加莱对偶性。它将分层流形的 Tate（上）同调定义为统一这两种理论的相对理论，并通过几何代表元显式计算了 LBG 上同调中的上积，特别是针对 G=S^3 的情形。

ABSTRACT

In this paper we give a geometric construction of the Borel equivariant (co)homology for spaces with a $G$-action, where $G$ is a compact Lie group with the property that the adjoint representation is orientable. A nice feature of these constructions is that there are corresponding Poincaré dual (co)homology theories called backwards (co)homology. This gives rise to a third relative (co)homology theory which we call stratifold Tate (co)homology. These Tate groups agree with the original definition of Tate cohomology for finite groups given by Swan. All constructions in this paper are geometric and use stratifolds. One advantage of this description is that elements in these groups can be described concretely by representatives. We give some examples of that.

研究动机与目标

• 开发一种基于 bordism 的几何构造方法，用于紧致李群（其伴随表示为可定向的）的等变（上）同调理论。
• 引入反向（上）同调理论，作为等变分层流形（上）同调的庞加莱对偶理论。
• 通过自然变换将等变分层流形（上）同调与反向（上）同调统一，定义分层流形 Tate（上）同调为一种相对理论。
• 提供上同调类的显式几何代表元，并计算等变上同调中的乘积，尤其针对 LBG 的情形。
• 通过计算 G=S^3 时 H*(LBG) 中的乘积结构，展示几何方法的实用性。

提出的方法

• 通过从定向 G-分层流形到 G-空间的等变映射的 bordism 类，构造等变分层流形同调与上同调。
• 通过紧致分层流形（同调）与适当弗雷德霍姆映射（上同调）之间的对偶性，将反向（上）同调定义为等变分层流形（上）同调的庞加莱对偶理论。
• 利用反向上同调与等变分层流形上同调之间的自然变换，定义一种相对理论：分层流形 Tate（上）同调。
• 借助同伦等价 G^{ad} ×_G EG ≃ LBG，将 H*(LBG) 识别为 H*_G(G^{ad})，并转移几何结构。
• 在分层流形框架下应用庞加莱对偶性，通过反向同调中代表元的复合构造上同调中的上积。
• 利用群乘法 μ: G^{ad} × G^{ad} → G^{ad} 诱导反向同调中的乘积，再通过对偶化得到上同调中的上积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用分层流形而非奇异同调，来几何地构造等变（上）同调理论？
• RQ2 在等变情形下，庞加莱对偶性的几何意义是什么？它如何通过一个对偶理论实现？
• RQ3 如何几何地定义 Tate（上）同调群，作为结合等变分层流形与反向（上）同调的相对理论？
• RQ4 对于 G=S^3，H*(LBG) 中的上积的显式几何描述是什么？它与等变上同调中乘积的关系如何？
• RQ5 几何方法能否简化已知构造，例如通过 Umkehr 映射定义的 LBG 上同调乘积？

主要发现

• 本文建立了等变分层流形同调 SH^G_k(X) 与 Borel 等变同调 H_{k−dim(G)}^G(X;Z) 之间的自然同构，适用于 G-CW 复形。
• 对于 G-Hilbert 流形，等变分层流形上同调 SH^*_G(P) 自然同构于 Borel 等变上同调 H^*_G(P;Z)。
• 反向（上）同调理论 DSH^*_G(M) 是等变分层流形上同调的庞加莱对偶，提供了极化对偶的几何实现。
• 分层流形 Tate（上）同调通过包含反向与分层流形（上）同调之间自然变换的长正合列来定义。
• 对于 G=S^3，H*(LBG) 中的乘积 * 被显式计算：a_{4k}*a_{4l}=0，a_{4k}*b_{4l+3}=a_{4k+4l}，b_{4k+3}*b_{4l+3}=b_{4k+4l+3}，符号除外。
• 上同调中的乘积通过代表元的复合几何实现：α*β 由 S×S′ → G^{ad}×EG×G^{ad}×EG → G^{ad}×EG 通过 μ 映射表示。