[论文解读] Some new homology and cohomology theories of manifolds and orbifolds

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 68被引用 4

一句话总结

本文引入了一类新的上同调与同调理论——M-同调与M-上同调，适用于流形与有效轨道丛，其定义基于由满足几何与适当性条件的四元组 (V, n, s, t) 生成的链复形。关键贡献在于这些理论满足Eilenberg–Steenrod公理，且与传统（上）同调理论之间存在典范同构，同时在（上）链层面上表现出更优的性质，尤其适用于辛几何中的横截性与虚拟周期构造。

ABSTRACT

For each manifold or effective orbifold $Y$ and commutative ring $R$, we define a new homology theory $MH_*(Y;R)$, $M$-$homology$, and a new cohomology theory $MH^*(Y;R)$, $M$-$cohomology$. For $MH_*(Y;R)$ the chain complex $(MC_*(Y;R),\partial)$ is generated by quadruples $[V,n,s,t]$ satisfying relations, where $V$ is an oriented manifold with corners, $n\in\mathbb N$, and $s:V o{\mathbb R}^n$, $t:V o Y$ are smooth with $s$ proper near 0 in ${\mathbb R}^n$. We show that $MH_*(Y;R),MH^*(Y;R)$ satisfy the Eilenberg-Steenrod axioms, and so are canonically isomorphic to conventional (co)homology. The usual operations on (co)homology -- pushforwards $f_*$, pullbacks $f^*$, fundamental classes $[Y]$ for compact oriented $Y$, cup, cap and cross products $\cup,\cap, imes$ -- are all defined and well-behaved at the (co)chain level. Chains $MC_*(Y;R)$ form flabby cosheaves on $Y$, and cochains $MC^*(Y;R)$ form soft sheaves on $Y$, so they have good gluing properties. We also define $compactly$-$supported$ $M$-$cohomology$ $MH^*_{cs}(Y;R)$, $locally$ $finite$ $M$-$homology$ $MH_*^{lf}(Y;R)$ (a kind of Borel-Moore homology), and two variations on the entire theory, $rational$ $M$-($co$)$homology$ and $de$ $Rham$ $M$-($co$)$homology$. All of these are canonically isomorphic to the corresponding type of conventional (co)homology. The reason for doing this is that our M-(co)homology theories are very well behaved at the (co)chain level, and will be better than other (co)homology theories for some purposes, particularly in problems involving transversality. In a sequel we will construct virtual classes and virtual chains for Kuranishi spaces in M-(co)homology, with a view to applications of M-(co)homology in areas of Symplectic Geometry involving moduli spaces of $J$-holomorphic curves.

研究动机与目标

• 为流形与有效轨道丛开发新的同调与上同调理论，使其在（上）链层面上表现良好。
• 提供一个框架，利用M-（上）同调在Kuranishi空间中构造虚拟类与虚拟链。
• 通过在链层面上改进函子性与乘积结构，推广传统（上）同调理论。
• 定义M-（上）同调的紧支集、局部有限、有理数及de Rham型变体。
• 建立M-（上）同调与标准（上）同调理论之间的典范同构。

提出的方法

• 通过由等价类构成的四元组 (V, n, s, t) 生成的链复形定义M-同调与M-上同调，其中V为带边的定向流形，s: V → R^n 在0附近适当，t: V → Y 光滑。
• 对生成元施加关系以确保函子性与横截性兼容性，包括适当性、共定向性及子mersion条件。
• 通过纤维积与微分几何及超代数中的符号约定，直接在（上）链层面上构造上杯积、上cap积与交叉积。
• 通过限制链与上链的支集条件，引入紧支集与局部有限型变体。
• 通过与Q张量积或使用微分形式，定义有理数与de Rham型版本，同时保持与标准理论的同构性。
• 证明所有M-（上）同调理论均满足Eilenberg–Steenrod公理，并与传统（上）同调理论之间存在典范同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为流形与轨道丛构造一种新的同调与上同调理论，使其在（上）链层面上表现良好，尤其是在横截性条件下？
• RQ2 所提出的M-（上）同调理论是否与标准（上）同调理论之间存在典范同构？
• RQ3 在该新框架中，通常的运算——上杯积、上cap积、交叉积、拉回、上推——是否可在（上）链层面上良好定义并表现良好？
• RQ4 M-（上）同调的紧支集与局部有限型变体是否存在，并满足预期的对偶性与粘合性质？
• RQ5 能否定义M-（上）同调的有理数与de Rham型版本，使其具有增强的对称性并兼容微分几何？

主要发现

• M-同调与M-上同调 MH∗(Y; R) 与 MH∗(Y; R) 定义为由满足适当性与子mersion条件的四元组 (V, n, s, t) 生成的链复形的（上）同调。
• 所有M-（上）同调理论均满足Eilenberg–Steenrod公理，且与传统（上）同调理论之间存在典范同构。
• 通常的运算——上杯积、上cap积、交叉积、拉回、上推——在（上）链层面上良好定义且行为恰当。
• 链 MC∗(Y; R) 构成弗拉比余层（flabby cosheaves），上链 MC∗(Y; R) 构成柔软层（soft sheaves），确保了强粘合性与局部性。
• 紧支集M-上同调 MH∗_cs(Y; R) 与局部有限M-同调 MHlf_∗(Y; R) 已定义，并与标准对应物同构。
• 已构造M-（上）同调的有理数与de Rham型版本，其中有理数M-上同调表现出上杯积的超交换性。