[论文解读] Some sums over the non-trivial zeros of the Riemann zeta function

Jesús Guillera|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过黎曼ζ函数的非平凡零点，推导出算术函数（如von Mangoldt函数、Möbius函数和Euler's totient函数）的新收敛渐近展开式与精确表达式。在有限零点截断下，建立了类似于Landau公式、具有光滑不变性的von Mangoldt函数表示，并在Riemann假设下给出了新恒等式，包括涉及ζ函数导数与双曲函数的新型极限计算。

ABSTRACT

We prove some identities, which involve the non-trivial zeros of the Riemann zeta function. From them we derive some convergent asymptotic expansions related to the work by Cramér, and also new representations for some arithmetical functions in terms of the non-trivial zeros.

研究动机与目标

• 通过黎曼ζ函数的非平凡零点之和，推导算术函数的新收敛表示。
• 通过在有限零点截断下引入光滑不变表示，推广Landau对von Mangoldt函数的公式。
• 在Riemann假设及零点单重性假设下，将这些结果扩展至Möbius函数与Euler's totient函数。
• 推导与Cramér工作相关的显式渐近展开式，改进早期近似。
• 在Riemann假设下，建立涉及临界零点处ζ值与导数的新型极限表达式。

提出的方法

• 通过包含双曲正弦与余弦权重及余切因子的非平凡零点之和，推导von Mangoldt函数的新恒等式，该余切因子捕捉了当x→π⁻时的渐近极限。
• 利用ξ函数的函数方程与Hadamard乘积表示，将ζ零点与算术函数关联。
• 应用复分析技术，包括对Γ函数与ζ函数的界估计，以证明收敛性与渐近行为。
• 采用Riemann-Siegel θ函数与精确零点计数公式，分析非平凡零点的分布。
• 通过ζ相关狄利克雷级数的解析延拓与级数变形，推导Möbius函数与Euler's totient函数的表示。
• 利用SageMath与Odlyzko的ζ零点数据库进行数值验证，将计算所得和与已知算术函数进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于非平凡ζ零点构造一个光滑且收敛的von Mangoldt函数表示，使其在有限截断下保持不变，类似于Landau公式？
• RQ2 当x→π⁻时，涉及sinh(xγ)/sinh(πγ)与log t三角函数的非平凡零点和的精确渐近行为是什么？
• RQ3 在Riemann假设下，Möbius函数与Euler's totient函数如何用ζ零点及其导数表示？
• RQ4 能否推导出新的收敛渐近展开式，以改进或扩展Cramér对素数分布的研究？
• RQ5 涉及临界零点处ζ值与导数的极限表达式的值是多少？其与算术函数有何关联？

主要发现

• 在Riemann假设下，推导出von Mangoldt函数的新表示：Λ(t) = -4π√t lim_{x→π⁻} [cot(x/2) Σ_{γ>0} (sinh(xγ)/sinh(πγ)) cos(γ log t) ]。
• 该Λ(t)公式在有限零点求和截断下保持光滑且不变，与以往离散和不同。
• 建立了Euler's totient函数的新恒等式：φ(t) = 4π√t cot(x/2) Σ_{γ>0} [Re(ζ(-1/2+iγ)/ζ’(1/2+iγ)) (sinh(xγ)/sinh(πγ)) cos(γ log t) - Im(...) (cosh(xγ)/sinh(πγ)) sin(γ log t)] + 低阶项。
• 证明了一项新型极限计算：lim_{x→π⁻} Σ_{γ>0} [sinh(xγ)/sinh(πγ)] ( (log 2)/√2 cos(γ log t) - Λ(t)/√t cos(γ log 2) ) = (log 2)/√2 (√t/2 - 1/(2(t²-1)√t)) - Λ(t)/√t (5√2)/12，假设Riemann假设成立。
• 本文提供了关于非平凡零点和的新收敛渐近展开式，优于Cramér早期结果。
• 通过SageMath与Odlyzko的ζ零点数据库进行数值验证，确认了φ(t)与Λ(t)在t ∈ [2,26]范围内的公式收敛性与准确性。