[论文解读] Some supercongruences modulo $p^2$

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了涉及二项式系数乘积的截断超几何型和模 $p^2$ 的一般超同余式，证明了某些生成函数的平方模 $p^2$ 与原和的变换形式相等。关键贡献在于提出一个统一框架，证明了Zhi-Wei Sun关于模 $p^2$ 超同余式的多个猜想，包括与类数以及素数表示为平方和或虚二次域中范数相关的案例。

ABSTRACT

Let $p>3$ be a prime, and let $m$ be an integer with $p mid m$. In the paper we prove some supercongruences concerning $$\align &\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{54^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{4k}{2k}}{128^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{3k}k\binom{6k}{3k}}{432^k}, &\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{3k}{k}}{m^k}, \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{m^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\f{\binom{2k}k\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{m^k}\mod {p^2}.\endalign$$ Thus we solve some conjectures of Zhi-Wei Sun and the author.

研究动机与目标

• 证明形如 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k} (x(1-27x))^k$ 的截断和模 $p^2$ 的一族超同余式。
• 建立一个一般恒等式，表明此类和模 $p^2$ 同余于一个更简单生成函数的平方。
• 验证Zhi-Wei Sun关于 $\binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}/m^k$、$\binom{2k}{k}^2 \binom{4k}{2k}/m^k$ 和 $\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}/m^k$ 模 $p^2$ 的多个超同余猜想。
• 通过类数和雅克比符号条件，将结果与素数的算术性质联系起来，例如 $p = a^2 + 3b^2$、$p = c^2 + 2d^2$ 和 $4p = x^2 + 19y^2$ 的表示。
• 通过高级 $p$-进技术与递推恒等式，将先前模 $p$ 的部分结果推广并确认为模 $p^2$ 的结果。

提出的方法

• 推导一个一般同余恒等式：$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k} (x(1-27x))^k \equiv \left( \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} x^k \right)^2 \pmod{p^2}$，使用生成函数运算和二项式系数恒等式。
• 应用WZ方法与符号计算（通过Mathematica）证明一个涉及二项式系数卷积恒等式的关键组合引理。
• 使用 $p$-进赋值与可除性论证：当 $k > p/3$ 时，$\binom{3k}{k} \equiv 0 \pmod{p}$；当 $k > 2p/3$ 时，$\binom{3k}{k}^2 \equiv 0 \pmod{p^2}$，以在模 $p^2$ 下截断并简化和式。
• 利用先前研究（例如 [S3]）中关于模 $p$ 同余的结果，通过主恒等式与代数运算将其提升至模 $p^2$。
• 将主恒等式应用于特定的 $x$ 和 $m$ 值，如 $m = 1728$、$m = 864$ 和 $m = -96$，以恢复并证明Sun的猜想。
• 使用雅克比符号与类数条件，将最终的同余结果表示为二次型中素数表示的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用统一的代数框架证明Rodriguez-Villegas与Zhi-Wei Sun关于形如 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}/m^k$ 的和模 $p^2$ 的超同余猜想？
• RQ2 是否存在一个一般恒等式，将生成函数的平方与原和的变换形式在模 $p^2$ 下关联起来？
• RQ3 对于哪些 $m$ 与素数 $p$，有 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}/m^k \equiv 0 \pmod{p^2}$？这与 $p$ 表示为平方和或虚二次域中范数有何关联？
• RQ4 通过代数恒等式与 $p$-进分析，能否将涉及 $\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}/m^k$ 模 $p^2$ 的猜想同余式约化为已知结果？
• RQ5 当 $p \equiv 1 \pmod{12}$ 时，和 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}/864^k$ 的精确 $p$-进提升是什么？它与类数或雅克比符号有何关联？

主要发现

• 恒等式 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k} (x(1-27x))^k \equiv \left( \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k} \binom{3k}{k} x^k \right)^2 \pmod{p^2}$ 对任意素数 $p > 3$ 与变量 $x$ 成立，提供了基础同余式。
• 当 $p \equiv 2 \pmod{3}$ 时，猜想 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}}{(-192)^k} \equiv 0 \pmod{p^2}$ 得到证明；当 $p \equiv 1 \pmod{3}$ 且 $4p = L^2 + 27M^2$ 时，该和同余于 $L^2 - 2p \pmod{p^2}$。
• 当 $\left(\frac{p}{19}\right) = -1$ 时，猜想 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{(6k)!}{(-96)^{3k}(3k)!k!^3} \equiv 0 \pmod{p^2}$ 得到确认；当 $\left(\frac{p}{19}\right) = 1$ 且 $4p = x^2 + 19y^2$ 时，该和同余于 $\left(\frac{-6}{p}\right)(x^2 - 2p) \pmod{p^2}$。
• 已确立 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{1728^k} \equiv \left( \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{864^k} \right)^2 \pmod{p^2}$，从而证明了Sun的猜想A44。
• 对于 $p \equiv 3,5,6 \pmod{7}$，已验证 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{(-15)^{3k}} \equiv 0 \pmod{p^2}$，并对 $m = -32$、$-960$、$-5280$ 和 $-640320$ 在相应互惠条件下的类似结果进行了验证。
• 当 $p \equiv 2 \pmod{3}$ 时，$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{54000^k} \equiv 0 \pmod{p^2}$ 得到确认，从而证实了Sun的猜想A9。