[论文解读] Some upper and lower bounds on PSD-rank

Troy Lee, Zhaohui Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 6

一句话总结

该论文建立了正定秩（PSD-rank）的新上界与下界，引入了基于量子通信的技术，这些技术依赖于矩阵元素而非仅支持模式。研究证明，内积矩阵 $\mathrm{IP}_n$ 的 PSD-rank 最多为 $2\sqrt{N}$（当 $n$ 为偶数时），以及 $\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{N}$（当 $n$ 为奇数时），解决了通信复杂性领域中的一个关键开放问题，并将界限扩展至超越以往仅基于支持模式的方法。

ABSTRACT

Positive semidefinite rank (PSD-rank) is a relatively new quantity with applications to combinatorial optimization and communication complexity. We first study several basic properties of PSD-rank, and then develop new techniques for showing lower bounds on the PSD-rank. All of these bounds are based on viewing a positive semidefinite factorization of a matrix $M$ as a quantum communication protocol. These lower bounds depend on the entries of the matrix and not only on its support (the zero/nonzero pattern), overcoming a limitation of some previous techniques. We compare these new lower bounds with known bounds, and give examples where the new ones are better. As an application we determine the PSD-rank of (approximations of) some common matrices.

研究动机与目标

• 开发依赖于矩阵元素而非仅支持模式的新技术，用于下界估计 PSD-rank。
• 解决关于 PSD-rank 行为的开放问题，包括张量积下的乘法性以及实数域与复数域之间的依赖性。
• 确定基本矩阵（如内积矩阵与非等矩阵）的精确渐近 PSD-rank。
• 为通信复杂性矩阵（特别是 $\mathrm{IP}_n$ 与 $\mathrm{NE}_n$）提供紧致的上界。
• 将 PSD-rank 与量子通信协议联系起来，为复杂性理论提供新的分析工具。

提出的方法

• 作者将 PSD 分解建模为量子通信协议，利用共享纠缠态通过正定矩阵的迹内积来模拟矩阵元素。
• 通过分析量子通信复杂性（特别是带纠缠的一方通信协议）来推导 PSD-rank 的下界，将协议成功概率与矩阵秩联系起来。
• 对于上界，他们通过基于 $\mathrm{IP}_n$ 结构的递归块矩阵构造，显式构建了秩为 1 的实正定 PSD 分解。
• 他们将 $\mathrm{IP}_n$ 分解为更小的内积块与全 1 块，然后通过矩阵行运算应用秩不等式。
• 他们引入了一个修改后的矩阵 $M_n$，其与共轭矩阵的哈达玛积等于 $\mathrm{IP}_n$，从而实现基于秩的 PSD-rank 上界。
• 他们分析在将第一块行加到其他块后变换块矩阵的秩，将问题简化为对稀疏块秩的有界性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于矩阵元素而非仅零/非零模式来界定 PSD-rank，从而克服基于支持的下界方法的局限性？
• RQ2 PSD-rank 在张量积下是否严格可乘？如果不是，哪些条件会阻止完全可乘性？
• RQ3 当分解被限制在实对称矩阵与复厄米特矩阵时，PSD-rank 是否存在差异？
• RQ4 内积矩阵 $\mathrm{IP}_n$ 的精确渐近 PSD-rank 是多少？
• RQ5 能否利用量子通信协议推导出常见通信矩阵的 PSD-rank 紧致上界？

主要发现

• 当 $n$ 为偶数时，$n$-量子比特内积矩阵 $\mathrm{IP}_n$ 的 PSD-rank 最多为 $2\sqrt{N}$，其中 $N = 2^n$。
• 当 $n$ 为奇数时，$\mathrm{IP}_n$ 的 PSD-rank 最多为 $\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{N}$，优于以往的界限。
• 作者构建了一个使用 $n/2+1$ 个量子比特的一方量子协议，可期望计算 $\mathrm{IP}_n$，从而暗示了 PSD-rank 的上界。
• 他们证明 PSD-rank 在张量积下并非严格可乘，提供了反例：$\mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P \otimes P) < \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P)^2$。
• 实数域下的 PSD-rank 可以渐近大出 $\sqrt{2}$ 倍于复数域下的 PSD-rank，解决了关于域依赖性的问题。
• 新界限克服了基于支持方法的局限性（其上限不能超过矩阵秩），并且在秩较小但 PSD-rank 较大的矩阵（如 $\mathrm{IP}_n$）中更为紧密。