[论文解读] SOS Lower Bound for Exact Planted Clique

Samuel B. Hopkins|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用 15

一句话总结

本文為求解植 clique 問題的平方和（SoS）層次建立了緊緻的下界。證明了四度 SoS 無法恢復小於 $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ 的植 clique，而對於 $2d$ 度 SoS，其界限為 $\widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$，透過一種新型校正機制改進了先前分析中使用的證證多項式，從而提升先前結果。

ABSTRACT

The problem of finding large cliques in random graphs and its "planted" variant, where one wants to recover a clique of size $ω\gg \log{(n)}$ added to an \Erdos-\Renyi graph $G \sim G(n,\frac{1}{2})$, have been intensely studied. Nevertheless, existing polynomial time algorithms can only recover planted cliques of size $ω= Ω(\sqrt{n})$. By contrast, information theoretically, one can recover planted cliques so long as $ω\gg \log{(n)}$. In this work, we continue the investigation of algorithms from the sum of squares hierarchy for solving the planted clique problem begun by Meka, Potechin, and Wigderson (MPW, 2015) and Deshpande and Montanari (DM,2015). Our main results improve upon both these previous works by showing: 1. Degree four SoS does not recover the planted clique unless $ω\gg \sqrt n poly \log n$, improving upon the bound $ω\gg n^{1/3}$ due to DM. A similar result was obtained independently by Raghavendra and Schramm (2015). 2. For $2 < d = o(\sqrt{\log{(n)}})$, degree $2d$ SoS does not recover the planted clique unless $ω\gg n^{1/(d + 1)} /(2^d poly \log n)$, improving upon the bound due to MPW. Our proof for the second result is based on a fine spectral analysis of the certificate used in the prior works MPW,DM and Feige and Krauthgamer (2003) by decomposing it along an appropriately chosen basis. Along the way, we develop combinatorial tools to analyze the spectrum of random matrices with dependent entries and to understand the symmetries in the eigenspaces of the set symmetric matrices inspired by work of Grigoriev (2001). An argument of Kelner shows that the first result cannot be proved using the same certificate. Rather, our proof involves constructing and analyzing a new certificate that yields the nearly tight lower bound by "correcting" the certificate of previous works.

研究动机与目标

• 為植 clique 問題填補資訊理論閾值 ($\omega \gg \log n$) 與演算法閾值 ($\omega = \Omega(\sqrt{n})$) 之間的差距。
• 分析平方和（SoS）層次在恢復植 clique 時的限制，特別是在低度時的情況。
• 透過構造並分析一個校正的證證多項式，改進先前的 SoS 下界，從而獲得近乎緊緻的界限。
• 顯示 MPW 證證多項式在四度以上無法用於證明強大的 SoS 下界，因而需要更複雜的構造。

提出的方法

• 透過校正 MPW 多項式，構造四度 SoS 的新證證多項式，以達成近乎最佳的下界。
• 利用精心選擇的基底進行細緻的譜分解，分析校正後算子的特徵值，以控制其譜。
• 應用集中不等式與組合工具，分析具有依賴項目的隨機圖中矩期望的偏移。
• 使用擾動論證，顯示當 $\omega \ll \sqrt{n}$ 時，校正後的證證器具有負定期望，從而暗示整數規劃差距。
• 將證證器分解為對稱組件，並借鑒 Grigoriev 的工作，利用特徵空間中的對稱性。
• 透過證明原始 MPW 證證器無法產生相同界限，從而證明分析的最優性，進而顯示校正的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 四度 SoS 層次能否恢復大小為 $\omega = \widetilde{O}(\sqrt{n})$ 的植 clique？
• RQ2 MPW 證證器是否足夠用於在四度時證明緊緻的 SoS 下界，還是必須進行修改？
• RQ3 對於 $d = o(\sqrt{\log n})$，$2d$ 度 SoS 在植 clique 問題中可能的最緊緻下界為何？
• RQ4 是否可透過更複雜的證證器，使 SoS 層次的表現優於 $\omega = \widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$？
• RQ5 原始 MPW 證證器為何無法產生強大的 SoS 下界？對證證器而言，哪些結構特徵是實現緊緻分析的必要條件？

主要发现

• 四度 SoS 層次無法恢復大小為 $\omega \ll \widetilde{O}(\sqrt{n})$ 的植 clique，改進了先前的 $n^{1/3}$ 界限。
• 對於 $d = o(\sqrt{\log n})$ 的 $2d$ 度 SoS，整數規劃差距至少為 $\widetilde{O}(n^{1/(d+1)})$，與目前已知最佳上界僅相差多對數因子。
• 構造了一個校正 MPW 多項式的新型證證多項式，使四度時能達成近乎緊緻的下界。
• 分析顯示，原始 MPW 證證器不足以用於證明強大的 SoS 下界，此點透過 Kelner 議論的推廣得到驗證。
• 透過基底分解分析校正證證器的譜，發現主要貢獻來自具有 $t = q/2$ 個連通分量的組件。
• 證明顯示，校正後證證器期望的變異數很小，因此可運用集中不等式，證明當 $\omega \ll \sqrt{n}$ 時，其期望為負定。