[论文解读] Special Hermitian metrics and Lie groups

Nicola Enrietti, Anna Fino|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文利用一个酉平坦联络，从2n维的强凯勒流形（SKT）李代数构造出新的4n维SKT李代数，提供了一种系统性方法来生成8维SKT例子。它对4维李代数上能与复结构相容的辛形式进行了分类，并在这些SKT结构中识别出凯勒度量。

ABSTRACT

A Hermitian metric on a complex manifold is called strong Kähler with torsion (SKT) if its fundamental 2-form $ω$ is $\partial \bar \partial$-closed. We review some properties of strong KT metrics also in relation with symplectic forms taming complex structures. Starting from a $2n$-dimensional SKT Lie algebra $\mathfrak g$ {and using} a Hermitian flat connection on $\mathfrak g$ we construct a $4n$-dimensional SKT Lie algebra. We apply this method to some 4-dimensional SKT Lie algebras. Moreover, we classify symplectic forms taming complex structures on 4-dimensional Lie algebras.

研究动机与目标

• 开发一种通用的构造方法，用于从低维SKT李代数生成高维SKT李代数。
• 对4维李代数上与复结构相容的辛形式进行分类。
• 确定4维李代数上SKT度量在何种条件下可伴随存在凯勒度量。
• 通过Bismut联络与闭3-形式，探讨SKT几何与广义凯勒结构之间的关系。
• 利用已知的4维SKT李代数，提供8维SKT与广义凯勒结构的显式例子。

提出的方法

• 在2n维SKT李代数上利用酉平坦联络，诱导出4n维SKT李代数结构。
• 将该构造方法应用于特定的4维SKT李代数：$\mathfrak{r}_{4,\lambda,0}$、$\mathfrak{d}_{4,2}$、$\mathfrak{d}_{4,\frac{1}{2}}$、$\mathfrak{d}'_{4,\lambda}$ 以及 $\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}\times\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}$。
• 利用条件 $\partial\overline{\partial}\omega = 0$ 定义SKT度量，确保基本2-形式 $\omega$ 是 $\partial\overline{\partial}$-闭的。
• 通过检查某些(1,1)-形式 $\omega_k$ 是否闭且正定，分析凯勒度量的存在性。
• 利用 $\partial\omega = \overline{\partial}\beta$ 与存在一个与复结构 $J$ 相容的辛形式之间的等价性。
• 通过计算 $b_3^{\text{inv}} = \dim H^3(\mathfrak{g}) = 0$，验证所考虑李代数中所有 $d$-闭3-形式均为恰当的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用2n维SKT李代数，通过酉平坦联络构造出4n维SKT李代数？
• RQ2 哪些4维李代数存在与复结构相容的辛形式？
• RQ3 在何种条件下，4维李代数上的SKT度量可伴随存在同复结构下的凯勒度量？
• RQ4 在所构造的例子中，Bismut联络与 torsion 3-形式 $c$ 如何与SKT条件 $dc = 0$ 相关联？
• RQ5 能否利用该构造方法，在已知的4维SKT李代数上恢复[15]中的广义凯勒结构？

主要发现

• 该构造方法从已知的4维SKT李代数生成了新的8维SKT李代数，包括 $\mathfrak{d}_{4,\frac{1}{2}}$ 与 $\mathfrak{d}'_{4,\lambda}$。
• 对于 $\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}\times\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}$，SKT度量 $\omega = e^{12} + e^{34} + t(e^{13} + e^{24})$ 满足 $\partial\omega = \overline{\partial}(a\alpha^{12})$，其中 $a = -\frac{t}{2} + i\frac{u_3 - y_2}{2(x_3 + v_2)}$。
• 在 $\mathfrak{r}_{4,\lambda,0}$ 中，凯勒度量 $\omega_k = ne^{12} + me^{34} + m\frac{y_1y_3}{x_1^2 + y_3^2}(e^{14} - e^{23}) - m\frac{y_1x_1}{x_1^2 + y_3^2}(e^{13} + e^{24})$ 在 $n > m\frac{y_1}{x_1^2 + y_3^2}(y_3 - x_1)$ 且 $n,m > 0$ 时存在。
• 在 $\mathfrak{d}_{4,2}$ 中，凯勒度量 $\omega_k = ne^{12} + me^{34} + m\frac{2u_1}{3x_1}(e^{14} - e^{23})$ 在 $n > m\frac{4u_1^2}{9x_1^2}$ 且 $m > 0$ 时成立。
• 在 $\mathfrak{d}'_{4,\lambda}$ 中，凯勒度量 $\omega_k = m\frac{1+q^2}{r^2}e^{12} + me^{34} + m\frac{q}{r}(e^{14} - e^{23})$ 在 $m > 0$ 时为闭且正定。
• 该构造方法成功恢复了[15]中的广义凯勒结构，使用的是 $\mathfrak{d}_{4,\frac{1}{2}}$ 李代数，与先前结果一致。