[论文解读] Spectral radius and Hamiltonicity of graphs with large minimum degree: revisited

Jun Ge, Bo Ning|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Graph theory and applications参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了图和具有高最小度的平衡二分图的哈密顿性谱半径条件。证明了当 $ n $ 足够大时，若 $ n $ 阶图 $ G $ 满足 $ \delta(G) \geq k $ 且谱半径 $ \lambda(G) \geq n-k-1 $，则 $ G $ 是哈密顿图，除非 $ G $ 同构于两个特定的例外图，从而推广了 Nikiforov 的结果，并提供了 Moon-Moser 定理的谱版本。

ABSTRACT

Investigating the relationship between eigenvalues of a graph and its cycle structure is a standard topic in spectral graph theory. This paper mainly concerns spectral conditions for Hamilton cycles in graphs and in balanced bipartite graphs, respectively. Our main results are written as: (1) Let $k\geq 1$, $n\geq \max\{\frac{1}{2}k^3+k+4,6k+5\}$, and let $G$ be a graph of order $n$, with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If its spectral radius $\lambda(G)\geq n-k-1$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=K_1\vee (K_k+K_{n-k-1})$, or $G=K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1})$. (2) Let $k\geq 1$, $n\geq k^3+2k+4$, and let $G$ be a balanced bipartite graph of order $2n$, with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If its spectral radius $\lambda(G)\geq \sqrt{n(n-k)}$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=B^k_n$, where $B^k_n$ is the graph obtained from $K_{n,n}$ by deleting a $K_{k,n-k}$. Our first theorem shows that a very recent theorem of Nikiforov still holds when $n<k^3$ (if $k$ is sufficiently large). Our second result further gives a spectral analogue of Moon-Moser's theorem on Hamilton cycles in balanced bipartite graphs, and extends a previous result due to Li and one of the authors here for $n$ sufficiently large.

研究动机与目标

• 将 Nikiforov 最近关于哈密顿性的谱条件推广到 $ k $ 较大时更小的 $ n $ 值。
• 为平衡二分图中哈密顿圈提供谱版本的 Moon-Moser 定理。
• 刻画满足谱半径条件但不是哈密顿图的例外图。
• 将 Li 和作者之一对大 $ n $ 的先前结果进行推广。

提出的方法

• 使用谱图论分析最大特征值（谱半径）与哈密顿圈存在性之间的关系。
• 应用极值图构造，特别是完全图的并图，以识别潜在的反例。
• 在 $ k $ 的表达下建立 $ n $ 的紧致界，以确保谱半径条件蕴含哈密顿性。
• 分析例外图 $ K_1\vee (K_k+K_{n-k-1}) $ 和 $ K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1}) $ 及其二分图类比的结构。
• 在平衡二分图情况下使用谱半径条件 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ 推导出哈密顿性。
• 将结果与已知定理（如 Nikiforov 和 Moon-Moser 的定理）进行比较，以确立谱条件的新颖性和强度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么谱半径条件下，具有最小度 $ \delta(G) \geq k $ 的图能保证存在哈密顿圈，即使 $ n < k^3 $？
• RQ2 哪些是精确的例外图，满足谱半径条件但不是哈密顿图？
• RQ3 能否为平衡二分图中的哈密顿性建立一个类似于 Moon-Moser 定理的谱条件？
• RQ4 谱半径阈值 $ \lambda(G) \geq n-k-1 $ 与高最小度稠密图中哈密顿圈的存在性有何关系？
• RQ5 这些结果在多大程度上推广了 Li 和作者之一对大 $ n $ 的先前工作？

主要发现

• 当 $ n \geq \max\{\frac{1}{2}k^3+k+4, 6k+5\} $ 时，$ n $ 阶图 $ G $ 满足 $ \delta(G) \geq k $ 且 $ \lambda(G) \geq n-k-1 $，则 $ G $ 是哈密顿图，除非 $ G $ 同构于 $ K_1\vee (K_k+K_{n-k-1}) $ 或 $ K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1}) $。
• 谱半径条件 $ \lambda(G) \geq n-k-1 $ 即使在 $ n < k^3 $ 时也能确保哈密顿性，将 Nikiforov 的结果推广到更广的 $ n $ 范围。
• 对于最小度 $ \delta(G) \geq k $ 的 $ 2n $ 阶平衡二分图，条件 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ 保证存在哈密顿圈，除非 $ G = B^k_n $，即从 $ K_{n,n} $ 中删除一个 $ K_{k,n-k} $ 后得到的图。
• 例外图 $ B^k_n $ 是在平衡二分图设定下唯一满足谱半径条件但不是哈密顿图的图。
• 结果为平衡二分图中哈密顿圈的 Moon-Moser 定理提供了谱版本。
• 本文证实，谱半径阈值 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ 对于最小度为 $ k $ 的平衡二分图中的哈密顿性是紧致的。