[论文解读] Splitting lemmas for the Finsler energy functional on the space of $H^1$-curves

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文在 $H^1$-曲线的希尔伯特流形上建立了 Finsler 能量泛函的广义莫尔斯引理（分裂引理），将 Gromoll-Meyer 的结果从黎曼几何推广到 Finsler 几何。证明了在闭测地线的临界轨道上，能量泛函的临界群结构在有限维约化下保持不变，从而实现了将 Grove-Tanaka 关于无限多个等距不变闭测地线的结果推广到 Finsler 流形。

ABSTRACT

We establish the splitting lemmas (or generalized Morse lemmas) for the energy functionals of Finsler metrics on the natural Hilbert manifolds of $H^1$-curves around a critical point or a critical $\R^1$ orbit of a Finsler isometry invariant closed geodesic. They are the desired generalization on Finsler manifolds of the corresponding Gromoll-Meyer's splitting lemmas on Riemannian manifolds (\cite{GM1, GM2}). As an application we extend to Finsler manifolds a result by Grove and Tanaka \cite{GroTa78, Tan82} about the existence of infinitely many, geometrically distinct, isometry invariant closed geodesics on a closed Riemannian manifold.

研究动机与目标

• 将 Gromoll-Meyer 的分裂引理从黎曼几何推广到 Finsler 流形，适用于 $F$-测地线的能量泛函。
• 通过发展一种无需有限维逼近的无限维方法，克服 Finsler 能量泛函在 $H^1$-曲线上缺乏 $C^2$-光滑性的问题。
• 证明在闭测地线的临界轨道上，能量泛函的临界群结构在减少到有限对称性时保持不变，从而实现闭测地线存在性结果的推广。
• 建立能量泛函与其对称约化之间临界群的同构关系，确保对称情形下 Betti 数的有界性。
• 将 Grove 和 Tanaka 在黎曼流形上关于无限多个几何上相异的等距不变闭测地线存在的结果，推广到 Finsler 流形。

提出的方法

• 在边界条件属于闭子流形 $N \subset M \times M$ 的 $H^1$-曲线的希尔伯特流形 $\Lambda_N(M)$ 上构造能量泛函 $\mathcal{L}(\gamma) = \int_0^1 F^2(\gamma(t), \dot\gamma(t))\,dt$。
• 采用无限维方法分析能量泛函的临界点与轨道，避免使用有限维逼近和 Palais 的结果。
• 使用 $H^1$-拓扑以及 $W^{1,2}(I,M)$ 上的黎曼-希尔伯特结构，其内积为 $\langle \xi, \eta \rangle_1 = \int_0^1 \langle \xi, \eta \rangle dt + \int_0^1 \langle \nabla^g_{\dot\gamma} \xi, \nabla^g_{\dot\gamma} \eta \rangle dt$。
• 分析临界点 $\gamma$ 处的海森矩阵 $H_\gamma(\mathcal{L})$，重点关注核及其复化，以研究临界群的同构关系。
• 通过 $\mathbb{Z}_m$-对称性群作用引入对称约化 $^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}$，并证明同构关系 $\mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K})$。
• 利用分解 $m = l_m \mathfrak{X}(m) + \eta(m)$，其中 $\eta(m) \leq \mathfrak{X}(m) \leq \mathfrak{s} \max_j k_j$，证明临界群集合是有限的，从而推出 Betti 数的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gromoll-Meyer 的分裂引理能否推广到能量泛函缺乏 $C^2$-光滑性的 Finsler 流形上？
• RQ2 在无有限维逼近的情况下，如何保持 Finsler 能量泛函的临界群结构在对称约化下的不变性？
• RQ3 $\mathbb{Z}_m$-对称性下，完整能量泛函与其对称约化之间的临界群关系是什么？
• RQ4 在对称约化下临界群维数的有界性是否意味着存在无限多个几何上相异的闭测地线？
• RQ5 Grove 和 Tanaka 在黎曼流形上关于无限多个等距不变闭测地线存在的结果能否推广到 Finsler 流形？

主要发现

• 本文在 $H^1$-曲线上建立了 Finsler 能量泛函的分裂引理，将 Gromoll-Meyer 的结果推广到 Finsler 几何。
• 证明了当 $m \geq \mathfrak{m}_0$ 时，有 $\mathscr{H}^0_*(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K})$，表明完整泛函与约化泛函的临界群之间存在同构。
• 集合 $\{ \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \mid m \geq \mathfrak{m}_0 \}$ 是有限的，意味着临界群的维数是统一有界的。
• 通过有限分解 $m = l_m \mathfrak{X}(m) + \eta(m)$，其中 $\eta(m) \leq \mathfrak{X}(m) \leq \mathfrak{s} \max_j k_j$，建立了对所有 $k \geq 0$，$m \geq 0$，有 $\dim \mathscr{H}^0_k(\mathcal{L}, \gamma^{m\alpha+1}; \mathbb{K})$ 的有界性。
• 利用谱分解和复化核上的不动点分析，证明了临界群同构 $\mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K}) \cong \mathscr{H}^0_*(^\mathfrak{X}(m)\alpha \mathcal{L}^{m\alpha+1}, \gamma; \mathbb{K})$。
• 该结果使得 Grove 和 Tanaka 的定理得以推广：若一个闭 Finsler 流形上存在一个等距变换，其作用轨道包含一条闭测地线，则该流形必有无限多个几何上相异的、等距不变的闭测地线。