[论文解读] Stable Phase Retrieval in Infinite Dimensions

Rima Alaifari, Ingrid Daubechies+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文提出了一种在无限维希尔伯特空间中实现稳定相位恢复的新范式，通过允许局部相位模糊性——即在不相交的频率或时间支持上使用不同的相位因子进行信号重构——而非全局相位。作者证明，在此宽松定义下，对于加伯框架和柯西小波框架，稳定恢复是可行的，从而克服了经典相位恢复在无限维空间中众所周知的不稳定性。

ABSTRACT

The problem of phase retrieval is to determine a signal $f\in \mathcal{H}$, with $\mathcal{H}$ a Hilbert space, from intensity measurements $|F(ω)|$, where $F(ω):=\langle f , φ_ω angle$ are measurements of $f$ with respect to a measurement system $(φ_ω)_{ω\in Ω}\subset \mathcal{H}$. Although phase retrieval is always stable in the finite dimensional setting whenever it is possible (i.e. injectivity implies stability for the inverse problem), the situation is drastically different if $\mathcal{H}$ is infinite-dimensional: in that case phase retrieval is never uniformly stable [8, 4]; moreover the stability deteriorates severely in the dimension of the problem [8]. On the other hand, all empirically observed instabilities are of a certain type: they occur whenever the function $|F|$ of intensity measurements is concentrated on disjoint sets $D_j\subset Ω$, i.e., when $F= \sum_{j=1}^k F_j$ where each $F_j$ is concentrated on $D_j$ (and $k \geq 2$). Motivated by these considerations we propose a new paradigm for stable phase retrieval by considering the problem of reconstructing $F$ up to a phase factor that is not global, but that can be different for each of the subsets $D_j$, i.e., recovering $F$ up to the equivalence $$ F \sim \sum_{j=1}^k e^{i α_j} F_j.$$ We present concrete applications (for example in audio processing) where this new notion of stability is natural and meaningful and show that in this setting stable phase retrieval can actually be achieved, for instance if the measurement system is a Gabor frame or a frame of Cauchy wavelets.

研究动机与目标

• 解决无限维希尔伯特空间中相位恢复的根本不稳定性问题，即单射性并不蕴含稳定性。
• 指出当强度测量集中在定义域的不相交子集上时，实际中会出现不稳定性。
• 引入一种新的稳定性框架，允许非全局相因子——即在不同不相交分量上使用不同相位——而非要求单一全局相位。
• 证明在此新范式下，对于加伯框架和柯西小波框架等结构化测量系统，稳定相位恢复成为可能。
• 在新等价关系下，即使存在噪声且处于无限维设置中，也提供稳定性理论保证。

提出的方法

• 将相位恢复定义为：从强度测量 $ |\langle f, \varphi_\omega \rangle| $ 中恢复希尔伯特空间 $ \mathcal{H} $ 中的信号 $ f $，其中 $ (\varphi_\omega)_{\omega \in \Omega} $ 是 $ \mathcal{H} $ 中的一个框架。
• 引入一种新的等价关系：$ F \sim \sum_{j=1}^k e^{i\alpha_j} F_j $，其中每个 $ F_j $ 在不相交集合 $ D_j $ 上有支撑，从而允许局部相位自由度。
• 使用复分析工具，包括解析Poincaré不等式和迹定理，来估计具有相似强度模值的信号之间的差异。
• 通过控制 $ |F| $ 的梯度的有界 $ L^p $-范数来控制信号变化，利用关键恒等式 $ \|F'\|_{L^p(D_+)} = \|\nabla|F|\|_{L^p(D_+)} $。
• 通过插值和截断函数 $ \eta $ 建立稳定性界，利用解析函数上的定理及在区域 $ D_+ $ 和 $ D_0 $ 上的迹估计。
• 证明重构误差被 $ ||F_1| - |F_2|| $ 的 $ W^{1,p} $-范数所控制，该范数量化了在不相交支撑上强度差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何即使在单射时，经典相位恢复在无限维希尔伯特空间中仍不稳定？
• RQ2 当强度测量集中在不相交的频率或时间区域时，相位恢复中观察到的实证不稳定性由何引起？
• RQ3 是否可通过放松对全局相位因子的要求，允许在不相交分量上独立使用相位，从而实现相位恢复的稳定化？
• RQ4 在何种测量系统条件下（如加伯框架、柯西小波）下，基于新局部相位等价关系的稳定相位恢复成立？
• RQ5 如何在新范式下，于无限维设置中推导出定量的稳定性界？

主要发现

• 即使在单射时，经典相位恢复在无限维希尔伯特空间中也永远无法实现一致稳定，这是由于维度增加导致的严重恶化。
• 不稳定性的主要来源是强度集中在不相交集合 $ D_j $ 上，此时信号 $ F $ 可分解为 $ F = \sum_{j=1}^k F_j $，且 $ \text{supp}(F_j) \subset D_j $。
• 通过在每个 $ D_j $ 上允许不同的相位因子 $ e^{i\alpha_j} $，在新等价关系 $ F \sim \sum_{j=1}^k e^{i\alpha_j} F_j $ 下，问题变得稳定。
• 在新框架下，加伯框架和柯西小波框架均可实现稳定相位恢复，其稳定性常数取决于测量系统的几何与解析性质。
• 重构误差被 $ ||F_1| - |F_2|| $ 的 $ W^{1,p} $-半范数所控制，表明在新等价关系下，微小的强度差异意味着微小的信号差异。
• 证明依赖于复分析工具：解析Poincaré不等式、迹定理以及截断函数估计，最终得出与 $ \frac{\Delta}{\delta^2} \||F_1| - |F_2|\|_{W^{1,p}} $ 成比例的界。