[论文解读] Static Charged Black Hole Solutions in Horava-Lifshitz Gravity

Jin-Zhang Tang|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文在 Ho’rava-Lifshitz 引力中推导出满足与不满足投影条件的静态带电黑洞解，采用一种将电磁场与引力部分耦合的广义作用量。在红外区域（IR）识别出 (A)dS-Reissner-Nordström 解，在紫外区域（UV）识别出 de-Sitter 解；当投影条件被放松时，出现了新的带电黑洞解，且在特定参数极限下与文献中已有结果一致。

ABSTRACT

In the present work, we search static charged black hole solutions to Hořava-Lifshitz gravity with or without projectability condition. We consider the most general form of action which electromagnetic field couples with Hořava-Lifshitz gravity. With the projectability condition, we find dS-Reissner-Nordstrom black hole solution in Painlevé-Gullstrand type coordinates in the IR region and a de-Sitter space-time solution in the UV region. Without the projectability condition, in the IR region, we find an especial static charged black hole solution.

研究动机与目标

• 推导 Hoýrava-Lifshitz 引力与电磁场耦合下的静态带电黑洞解，扩展此前关于无电荷解的研究。
• 研究投影条件在决定红外与紫外区域黑洞解结构中的作用。
• 探讨各向异性标度与修正引力动力学如何影响带电黑洞解的存在性与形式。
• 比较不同假设下（投影型与非投影型 lapse 函数）的解，并确认与文献中已知结果的一致性。
• 考察电磁耦合对黑洞几何的影响，特别是存在类似宇宙学项与曲率修正时的影响。

提出的方法

• 使用 ADM 形式，采用 Painlevé-Gullstrand 型坐标下的度规试探解：$ ds^2 = -dt^2 + (dr + N^r dt)^2 + \frac{1}{f(r)}(dr + N^r dt)^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) $，其中 $ N $ 为仅依赖于 $ t $ 的函数（投影型）或仅依赖于 $ r $ 的函数（非投影型）。
• 从包含动能项、势能项与电磁耦合项的广义 Hoýrava-Lifshitz 作用量推导场方程，$ \lambda $ 为动力学临界指数。
• 施加投影条件（$ N = N(t) $）以在红外区（$ \lambda = 1 $）与紫外区（$ \lambda \neq 1 $）求解，通过求解 $ f(r) $、$ N^r(r) $ 与 $ N(t) $ 的微分方程获得解。
• 对于非投影情形（$ N = N(r) $），在 $ \lambda = 1 $（红外区）与 $ \lambda \neq 1 $（紫外区）下求解场方程，得到包含积分常数 $ \beta, c $ 与参数 $ \Omega, \Lambda_W $ 的新解。
• 施加电磁学的高斯定律：$ \int_S \tilde{g}_{em} \frac{Q_e}{r^2} d\vec{\sigma} = \pm Q_e $，其中 $ \tilde{g}_{em} = 1 $ 表示物理带电黑洞。
• 通过坐标变换将解与已知形式（如 Reissner-Nordström）比较，并验证与先前研究（如 RongCai-2009, Lu2009）的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当施加投影条件时，Hoýrava-Lifshitz 引力中的静态带电黑洞解是什么？
• RQ2 在投影条件下，解在红外区与紫外区有何不同？
• RQ3 当投影条件被放松（即 $ N = N(r) $）时，会涌现出哪些新的带电黑洞解？
• RQ4 电磁耦合与曲率项如何影响红外与紫外极限下黑洞解的结构？
• RQ5 在特定参数极限下，所推导的解是否与广义相对论及先前 Hoýrava-Lifshitz 研究（如 RongCai-2009, Lu2009）中的已知解一致？

主要发现

• 在投影条件下，论文在红外区域（$ \lambda = 1 $）的 Painlevé-Gullstrand 坐标下找到了 (A)dS-Reissner-Nordström 黑洞解，其中 $ f(r) = 1 - \Lambda_W r^2 - \sqrt{c r + 2\tilde{g}_{em} \Lambda_W (Q_e^2 - Q_m^2)} $ 且 $ N^r = 0 $。
• 在紫外区域（$ \lambda \neq 1 $），当 $ f = 1 $ 且 $ Q_e^2 = Q_m^2 $ 时，得到 de-Sitter 时空解，其中 $ N^r = \pm \sqrt{\frac{\Lambda_W}{3\lambda - 1}} r $，与早期工作一致。
• 在非投影情形下，于红外区域（$ \lambda = 1 $），推导出一种新静态带电黑洞解，其中 $ f(r) = 1 - \Lambda_W r^2 - \sqrt{c r + 2\tilde{g}_{em} \Lambda_W (Q_e^2 - Q_m^2)} $ 且 $ N_r^2 = \frac{\beta}{r f} $，当 $ Q_m = 0 $ 时与 RongCai-2009 一致。
• 在紫外区域（$ \lambda \neq 1 $），当 $ N_r = 0 $ 时，论文获得解：$ f = 1 - \Lambda_W r^2 - \alpha r^{\frac{2\lambda \pm \sqrt{6\lambda - 2}}{\lambda - 1}} $ 且 $ N = a r^{-\frac{1 + 3\lambda \pm 2\sqrt{6\lambda - 2}}{\lambda - 1}} \sqrt{f} $，与 Lu2009 一致。
• 当 $ Q_e^2 = Q_m^2 $ 时，紫外解退化为 de-Sitter 几何，确认了模型在电磁中性条件下的自洽性。
• 通过坐标变换与已知的 Reissner-Nordström 及 Schwarzschild-de-Sitter 形式比较，验证了解的物理一致性。