[论文解读] Stationary measure for two-state space-inhomogeneous quantum walk in one dimension

Hikari Kawai, Takashi Komatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 10

一句话总结

本论文通过求解幺正时间演化算符的特征值问题，推导出在一维整数格点上两态空间非均匀量子行走的平稳测度。关键贡献在于为多缺陷模型中的平稳测度提供了通用的解析解，扩展了先前关于单缺陷和空间均匀情况的结果，包括指数型和二次多项式型测度。

ABSTRACT

We consider the two-state space-inhomogeneous coined quantum walk (QW) in one dimension. For a general setting, we obtain the stationary measure of the QW by solving the eigenvalue problem. As a corollary, stationary measures of the multi-defect model and space-homogeneous QW are derived. The former is a generalization of the previous works on one-defect model and the latter is a generalization of the result given by Konno and Takei (2015).

研究动机与目标

• 推导一维格点上具有多个缺陷的两态空间非均匀量子行走的平稳测度。
• 推广先前关于单缺陷模型和空间均匀量子行走的结果。
• 识别出非均匀平稳测度（特别是指数型和二次多项式型）出现的条件。
• 建立一个使用转移矩阵和特征值解的通用框架，适用于任意缺陷配置。
• 对不同量子行走模型（包括多缺陷和均匀情形）中的平稳测度提供统一处理。

提出的方法

• 通过位置相关的幺正币矩阵 $ U_x $ 形式化两态空间非均匀量子行走，将其分解为向左和向右运动的分量 $ P_x $ 和 $ Q_x $。
• 通过幺正算符 $ U^{(s)} $ 建模时间演化，该算符通过 $ P_{x+1} $ 和 $ Q_{x-1} $ 将相邻位置的振幅耦合。
• 应用转移矩阵技术求解特征值问题 $ U^{(s)} \Psi = \lambda \Psi $，其中 $ \lambda $ 是模为一的复特征值。
• 基于相对于缺陷的位置，利用依赖于转移矩阵 $ D^+ $ 和 $ D^- $ 的递推关系，推导出所有 $ x \in \mathbb{Z} $ 的振幅 $ \Psi(x) $。
• 通过 $ \mu(x) = \| \Psi(x) \|^2 $ 构造平稳测度，确保在幺正演化下保持时间不变。
• 分析特征方程的相异根和重根情况，以 $ \lambda $、$ \alpha $、$ \beta $ 和 $ \omega $ 表示振幅表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{Z} $ 上具有多个缺陷的两态空间非均匀量子行走中，平稳测度的一般形式是什么？
• RQ2 单缺陷模型和空间均匀量子行走的平稳测度如何作为一般解的特例出现？
• RQ3 在何种条件下，平稳测度表现出指数衰减或二次多项式行为？
• RQ4 转移矩阵方法能否系统地应用于推导非均匀量子行走模型中的平稳测度？
• RQ5 特征值 $ \lambda $ 在决定平稳测度结构中起什么作用？

主要发现

• 推导出在 $ \mathbb{Z} $ 上具有任意多缺陷配置的两态空间非均匀量子行走的平稳测度 $ \mu(x) = \| \Psi(x) \|^2 $。
• 当 $ \lambda = e^{\pm \pi i/4} $ 时，该解包含 Konno 等人 [20] 之前发现的指数型平稳测度作为特例。
• Konno 和 Takei [21] 提出的二次多项式型平稳测度作为一般解的极限情况被重新获得。
• 在特征方程具有相异根的情况下，振幅 $ \Psi(x) $ 以 $ \Lambda_\pm $ 的幂次表示，其系数涉及 $ \Psi(1) $、$ \Psi(2) $、$ \Psi(-1) $、$ \Psi(-2) $。
• 在重根情况（$ \lambda = \pm e^{\pm \pi i/4} $）下，振幅随 $ x $ 线性增长，导致多项式型平稳测度。
• 平稳测度通过振幅解显式构造为 $ \mu(x) = \| \Psi(x) \|^2 $，并对所有 $ x \in \mathbb{Z} $ 给出闭式表达式，包括远离缺陷的区域。