[论文解读] Relation between two-phase quantum walks and the topological invariant

Takako Endo, Norio Konno+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Topological Materials and Phenomena参考文献 40被引用 14

一句话总结

本文建立了在一维空间中完整双相量子行走（QW）与拓扑不变量之间的严格联系，证明了QW的局域化与弹道扩散行为由手征对称性导出的拓扑不变量所支配。作者推导出精确的稳态与时间平均极限测度，证明了弱收敛定理，并表明单缺陷QW中的局域化是完整双相QW在对称性保持扰动下的结果，从而统一了拓扑保护与局域化动力学。

ABSTRACT

We study a position-dependent discrete-time quantum walk (QW) in one dimension, whose time-evolution operator is built up from two coin operators which are distinguished by phase factors from $x\geq0$ and $x\leq-1$. We call the QW the {\it complete two-phase QW} to discern from the two-phase QW with one defect\cite{endosan,maman}. Because of its localization properties, the two-phase QWs can be considered as an ideal mathematical model of topological insulators which are novel quantum states of matter characterized by topological invariants. Employing the complete two-phase QW, we present the stationary measure, and two kinds of limit theorems concerning {\it localization} and the {\it ballistic spreading}, which are the characteristic behaviors in the long-time limit of discrete-time QWs in one dimension. As a consequence, we obtain the mathematical expression of the whole picture of the asymptotic behavior of the walker, including dependences on initial states, in the long-time limit. We also clarify relevant symmetries, which are essential for topological insulators, of the complete two-phase QW, and then derive the topological invariant. Having established both mathematical rigorous results and the topological invariant of the complete two-phase QW, we provide solid arguments to understand localization of QWs in term of topological invariant. Furthermore, by applying a concept of {\it topological protections}, we clarify that localization of the two-phase QW with one defect, studied in the previous work\cite{endosan}, can be related to localization of the complete two-phase QW under symmetry preserving perturbations.

研究动机与目标

• 建立一个数学框架，将一维系统中的双相量子行走与拓扑不变量联系起来。
• 为完整双相QW推导出精确的稳态与时间平均极限测度，明确展示其对初始态的依赖性。
• 通过将单缺陷QW与保持对称性的完整双相QW相关联，阐明单缺陷QW中局域化的起源。
• 通过计算拓扑不变量并与渐近行为比较，验证QW模型中的体-边对应关系。
• 统一物理直觉与数学严谨性，以理解通过拓扑保护实现的局域化在量子行走中的机制。

提出的方法

• 构建一个具有位置依赖性哈密顿算符的离散时间量子行走：$x \geq 0$ 区域使用一个哈密顿算符，$x \leq -1$ 区域使用另一个，二者通过相位因子 $\sigma_+$ 和 $\sigma_-$ 区分。
• 使用生成函数技术和路径计数方法，推导出时间平均极限测度与稳态测度，明确依赖于初始叠加态。
• 应用CGMV方法与谱分析求解时间演化算符的本征值问题，并识别局域化本征态。
• 当 $\sigma_+ - \sigma_- = n\pi$ 时，识别时间演化算符中的手征对称性，使该模型处于Cartan类AIII，从而可计算拓扑不变量。
• 通过计算 $\lambda = \pm i$ 时本征值流的绕数，计算拓扑不变量，确认其与体-边对应关系一致。
• 将单缺陷QW视为完整双相QW的对称性保持扰动，证明其局域态源于完整系统的受保护边界模。

实验结果

研究问题

• RQ1 完整双相量子行走的拓扑不变量如何与其局域化和弹道扩散特性相关？
• RQ2 完整双相QW的稳态与时间平均极限测度的确切形式是什么？其对初始叠加态的依赖关系如何？
• RQ3 在单缺陷QW中观察到的局域化能否被理解为完整双相QW在保持拓扑对称性下的扰动？
• RQ4 该量子行走模型中体-边对应关系在多大程度上成立？其通过精确计算拓扑不变量如何被验证？
• RQ5 如手征对称性等对称性如何影响非均匀量子行走中局域边界态的出现？

主要发现

• 完整双相QW表现出精确的稳态与时间平均极限测度，其明确依赖于初始叠加态，从而可实现对局域化的精确调控。
• 当初始叠加态被选择为使时间平均测度在 $x=0$ 处为零时，原点的局域化被抑制，即使两个区域具有不同的拓扑不变量。
• 拓扑不变量被计算为 $\lambda = \pm i$ 时本征值流的绕数，当 $\sigma_+ - \sigma_- = n\pi$ 时非零，确认系统属于AIII类。
• 弱收敛定理证实了在重缩放位置空间中的弹道扩散，极限测度由狄拉克函数部分（局域化）与绝对连续部分（弹道运动）组成。
• 单缺陷QW中的局域态被证明源于完整双相QW在原点处的对称性保持扰动，且缺陷哈密顿算符在 $\theta_x = 0$ 时与微扰哈密顿算符 $U_p$ 一致。
• 当 $\sigma = \pm \pi/2$ 时，完整双相QW的稳态测度衰减率与单缺陷QW一致，证实了两种模型中局域化的拓扑起源。