[论文解读] Stochastic homogenization of reversible random walks in random environment.

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文通过两尺度收敛与 $\mathbb{G}$-平稳测度的Palm理论，建立了在 $\mathbb{R}^d$ 上具有无界跳跃范围的可逆随机游动在随机点测度上的随机均质化。在二阶矩条件下，证明了 $L^2$-半群与预解式对布朗运动的quenched收敛，其协方差为 $2D$，且无需椭圆性或 $D$ 的非退化性假设，覆盖了随机导纳与超临界渗流等模型。

ABSTRACT

We consider random walks on the support of a random pure point measure on $\mathbb{R}^d$ with random jump probability rates. The jump range can be unbounded. The pure point measure is reversible for the random walk and stationary for the action of the group $\mathbb{G}=\mathbb{R}^d$ or $\mathbb{G}=\mathbb{Z}^d$. By combining two-scale convergence and Palm theory for $\mathbb{G}$-stationary random measures and by developing a cut-off procedure, under suitable second moment conditions we prove for almost all environments the homogenization for the massive Poisson equation of the associated Markov generators. In addition, we obtain the quenched convergence of the $L^2$-Markov semigroup and resolvent of the diffusively rescaled random walk to the corresponding ones of the Brownian motion with covariance matrix $2D$. For symmetric jump rates, the above convergence plays a crucial role in the derivation of hydrodynamic limits when considering multiple random walks with site-exclusion or zero range interaction. We do not require any ellipticity assumption, neither non-degeneracy of the homogenized matrix $D$. Our results cover a large family of models, including e.g. random conductance models on $\mathbb{Z}^d$ and on general lattices (possibly with long conductances), Mott variable range hopping, simple random walks on Delaunay triangulations, simple random walks on supercritical percolation clusters.

研究动机与目标

• 建立在 $\mathbb{R}^d$ 上具有无界跳跃范围的可逆随机游动在随机点测度上的均质化。
• 在二阶矩条件下，证明扩散缩放后游动的 $L^2$-马尔可夫半群与预解式对具有协方差 $2D$ 的布朗运动的quenched收敛。
• 消除对均质化扩散矩阵 $D$ 的椭圆性或非退化性假设的依赖。
• 将均质化结果推广至如格点上的随机导纳、Mott长程跳跃以及Delaunay三角剖分或渗流簇上的简单随机游动等模型。

提出的方法

• 结合两尺度收敛与 $\mathbb{G}$-平稳随机测度的Palm理论，分析环境的统计结构。
• 应用截断程序处理无界跳跃范围，并在二阶矩条件下确保收敛。
• 利用点测度的可逆性与 $\mathbb{G} = \mathbb{R}^d$ 或 $\mathbb{Z}^d$ 下的平稳性，推导遍历性与不变性性质。
• 分析与马尔可夫生成元相关的广义Poisson方程，以推导均质化结果。
• 建立扩散缩放过程的半群与预解式在 $L^2$ 中的quenched收敛。
• 将结果应用于推导具有排除或零范围相互作用的相互作用粒子系统的流体动力学极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在跳跃速率与测度的二阶矩条件下，可逆随机游动的马尔可夫生成元的广义Poisson方程是否能实现均质化？
• RQ2 在不假设均质化矩阵 $D$ 椭圆性或非退化性的情况下，能否建立 $L^2$-半群与预解式对布朗运动的quenched收敛？
• RQ3 这些结果在多大程度上可推广至具有长程跳跃的模型，如Mott长程跳跃或一般格点上的随机导纳？
• RQ4 两尺度收敛与Palm理论的结合如何在非椭圆、非退化设定下实现均质化？
• RQ5 点测度的可逆性与 $\mathbb{G}$-平稳性在确保收敛中起什么作用？

主要发现

• 在跳跃速率与测度的二阶矩条件下，几乎所有环境下的广义Poisson方程均实现均质化。
• 建立了扩散缩放游动的马尔可夫半群与预解式对具有协方差 $2D$ 的布朗运动的quenched $L^2$-收敛。
• 均质化矩阵 $D$ 无需非退化或满足椭圆性条件，从而扩大了在退化与长程模型中的适用范围。
• 结果适用于广泛的一类模型，包括 $\mathbb{Z}^d$ 上的随机导纳、长程导纳、Mott长程跳跃，以及Delaunay三角剖分上的简单随机游动。
• 该框架支持推导具有排除或零范围相互作用的相互作用随机游动系统的流体动力学极限。
• 截断程序有效控制了无界跳跃范围，即使在缺乏一致椭圆性的情况下也实现了收敛。