[论文解读] Stochastic invariance of closed sets with non-Lipschitz coefficients

Eduardo Abi Jaber, Bruno Bouchard+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文为扩散过程中非利普希茨扩散系数的闭集随机不变性建立了新的刻画。通过使用协方差矩阵 $ C = \sigma\sigma^\top $ 的雅可比矩阵重述经典斯特拉托诺维奇漂移条件，该方法将不变性准则推广到 $ \sigma $ 不可微的情形，从而实现了在任意闭集（包括具有边界奇点的集合，如平方根过程）上构造仿射与多项式扩散过程。

ABSTRACT

This paper provides a new characterization of the stochastic invariance of a closed subset of R^d with respect to a diffusion. We extend the well-known inward pointing Stratonovich drift condition to the case where the diffusion matrix can fail to be differentiable: we only assume that the covariance matrix is. In particular, our result can be directly applied to construct affine diffusions and polynomial preserving diffusions on any arbitrary closed set.

研究动机与目标

• 将经典的斯特拉托诺维奇漂移条件推广至扩散系数 $ \sigma $ 不可微的情形。
• 提供一种实用的随机不变性刻画，避免使用先前工作中复杂的二阶法锥。
• 实现对任意闭集（包括非光滑边界）上仿射与多项式扩散过程的构造。
• 通过关注 $ C = \sigma\sigma^\top $ 的可微性而非 $ \sigma $ 本身，统一并推广现有不变性准则。

提出的方法

• 使用协方差矩阵 $ C = \sigma\sigma^\top $ 的雅可比矩阵重述斯特拉托诺维奇漂移条件，该雅可比矩阵即使在 $ \sigma $ 不可微时也可能可微。
• 采用一阶法锥 $ \mathcal{N}^1_{\mathcal{D}}(x) $ 进行几何分析，其计算复杂度低于二阶法锥。
• 建立以 $ \langle u, b(x) - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^d D\Phi^j(x) \rangle \leq 0 $ 表示的随机不变性的充要条件，其中 $ \Phi^j $ 为矩阵 $ C $ 的列向量。
• 应用穆尔-彭罗斯广义逆与克罗内克积恒等式，处理矩阵导数并实现雅可比矩阵的向量化计算。
• 证明在 $ b $ 和 $ \sigma $ 满足线性增长与连续性条件、且 $ C \in C^2 $ 于定义域内部时，该条件仍成立。
• 通过局部化与路径唯一性论证，证明当边界几乎必然不被触及时，强解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的斯特拉托诺维奇漂移条件能否推广至扩散系数 $ \sigma $ 不可微的情形？
• RQ2 是否可使用协方差矩阵 $ C = \sigma\sigma^\top $ 的雅可比矩阵而非 $ \sigma $ 本身来刻画随机不变性？
• RQ3 如何在任意闭集（包括非光滑边界）上构造仿射与多项式扩散过程？
• RQ4 在 $ \sigma $ 不满足利普希茨条件时，何种条件可确保扩散过程几乎必然保留在闭集 $ \mathcal{D} \subset \mathbb{R}^d $ 内？

主要发现

• 本文基于协方差矩阵 $ C = \sigma\sigma^\top $ 的雅可比矩阵，建立了闭集 $ \mathcal{D} \subset \mathbb{R}^d $ 随机不变性的充要条件，从而消除了对 $ \sigma $ 可微性的要求。
• 该条件简化为：对所有 $ x \in \mathcal{D} $ 与 $ u \in \mathcal{N}^1_{\mathcal{D}}(x) $，有 $ \langle u, b(x) - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^d D\Phi^j(x) \rangle \leq 0 $，其中 $ \Phi^j $ 为 $ C $ 的列向量，使得该方法可应用于非利普希茨的 $ \sigma $。
• 该结果使得在任意闭集（如 $ \mathbb{R}_+ $ 上的平方根过程）上构造仿射与多项式扩散过程成为可能，即使 $ \sigma $ 在边界处不可微。
• 对于在 $ (0,1] $ 上的雅可比扩散，该条件导出动力学 $ dX_t = \kappa(\theta - X_t)dt + \eta\sqrt{X_t(1-X_t)}dW_t $，且当 $ \kappa\theta \geq \frac{\eta^2}{2} $ 时可保证随机不变性。
• 该方法避免使用计算困难的二阶法锥，同时保留了一阶法锥的计算简便性。
• 在 $ C $ 具有适度正则性且 $ b $ 局部利普希茨的条件下，当边界几乎必然不被触及时，本文确保了强解的存在性与路径唯一性。