[论文解读] Stochastic Monotone Submodular Maximization with Queries

Takanori Maehara, Yutaro Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的基于查询的随机单调子模最大化策略，其中元素具有隐藏的激活/非激活状态，查询可揭示这些状态。研究证明，均匀交换映射条件可实现高效查询策略并具有低自适应性，对线性目标函数实现 (1−ε)/5 的近似比，对子模目标函数实现 (1−ε)η/(4+2η) 的近似比，且在高概率下仅需 O(log(1/δ)/p²ε) 次查询。

ABSTRACT

We study a stochastic variant of monotone submodular maximization problem as follows. We are given a monotone submodular function as an objective function and a feasible domain defined on a finite set, and our goal is to find a feasible solution that maximizes the objective function. A special part of the problem is that each element in the finite set has a random hidden state, active or inactive, only the active elements contribute to the objective value, and we can conduct a query to an element to reveal its hidden state. The goal is to obtain a feasible solution having a large objective value by conducting a small number of queries. This is the first attempt to consider nonlinear objective functions in such a stochastic model. We prove that the problem admits a good query strategy if the feasible domain has a uniform exchange property. This result generalizes Blum et al.'s result on the unweighted matching problem and Behnezhad and Reyhani's result on the weighted matching problem in both objective function and feasible domain.

研究动机与目标

• 确定在何种可行域条件下，随机单调子模最大化问题可存在高效查询策略且自适应性较低。
• 将先前关于无权和带权匹配问题的结果推广至非线性、子模目标函数。
• 将基于查询的算法适用范围从线性目标函数扩展至一般单调子模函数。
• 将均匀交换映射条件形式化为统一框架，用于设计低自适应性查询策略。
• 提供查询复杂度界限，使其在 1/p 和 1/ε 上高效缩放，同时保持高概率近似保证。

提出的方法

• 本文引入均匀交换映射条件作为高效查询策略的充分条件，推广了先前关于匹配和装箱问题的研究结果。
• 通过 (p,p)-均匀交换映射构建基于局部搜索的查询策略，实现解之间元素的 probabilistic 交换。
• 针对背包约束，将问题分为两类处理：小物品（大小 ≤1/3）和大物品（大小 >1/3），分别采用定制化的查询策略。
• 算法采用随机交换机制，通过在圆周上随机放置弧线来选择元素，确保重叠有界并提供概率保证。
• 通过并行执行小物品和大物品的策略，确保在两种情形下均实现高概率近似。
• 分析过程利用交换后目标函数增益的期望界，将线性不等式替换为子模类比，推导出近似因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可行域满足何种条件时，随机单调子模最大化问题可实现高效查询策略且自适应性较低？
• RQ2 均匀交换映射框架是否可用于将先前关于无权和带权匹配问题的结果推广至子模目标函数？
• RQ3 在随机激活条件下，实现子模目标函数的 (1−ε)-近似比需要多少查询复杂度？
• RQ4 在元素状态隐藏的前提下，如何优化查询次数与近似因子之间的权衡？
• RQ5 该方法是否可扩展至同时包含小物品和大物品的一般背包约束，并保持强近似保证？

主要发现

• 本文证明，任何具有均匀交换映射的可行域，均可通过查询策略在高概率下实现线性目标函数的 (1−ε)/5 近似比。
• 对于子模目标函数，近似因子为 (1−ε)η/(4+2η)，其中 η 为子模曲率，且在相同查询复杂度下成立。
• 该查询策略仅需 O(log(1/δ)/p²ε) 次查询，其复杂度在 1/δ 上对数缩放，在 1/ε 和 1/p 上多项式缩放。
• 通过结合非自适应轮次与基于随机弧线放置的 probabilistic 交换机制，实现低自适应性。
• 分析表明，并行执行小物品和大物品的策略可确保组合解实现常数因子近似。
• 该框架通过将先前关于匹配和装箱问题的结果从线性目标函数推广至子模目标函数，并从特定可行域推广至一般均匀交换映射可行域，实现了广义化。