[论文解读] Stochastic Online Metric Matching

Anupam Gupta, Guru Guruganesh+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 37被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种在独立同分布请求到达下在线最小代价度量完美匹配的 O((log log log n)²)-竞争算法，显著优于对抗模型和随机顺序模型中的 Ω(log n) 下界。该方法采用公平偏差匹配策略，根据实时空闲服务器分布动态平衡服务器利用率，通过请求-服务器匹配概率的概率分析，在树上实现近乎常数的竞争比，在一般度量空间中实现次对数的竞争比。

ABSTRACT

We study the minimum-cost metric perfect matching problem under online i.i.d arrivals. We are given a fixed metric with a server at each of the points, and then requests arrive online, each drawn independently from a known probability distribution over the points. Each request has to be matched to a free server, with cost equal to the distance. The goal is to minimize the expected total cost of the matching. Such stochastic arrival models have been widely studied for the maximization variants of the online matching problem; however, the only known result for the minimization problem is a tight $O(\log n)$-competitiveness for the random-order arrival model. This is in contrast with the adversarial model, where an optimal competitive ratio of $O(\log n)$ has long been conjectured and remains a tantalizing open question. In this paper, we show improved results in the i.i.d arrival model. We show how the i.i.d model can be used to give substantially better algorithms: our main result is an $O((\log \log \log n)^2)$-competitive algorithm in this model. Along the way we give a $9$-competitive algorithm for the line and tree metrics. Both results imply a strict separation between the i.i.d model and the adversarial and random order models, both for general metrics and these much-studied metrics.

研究动机与目标

• 为在线度量匹配中对抗模型/随机顺序模型与独立同分布（i.i.d.）模型之间的差距提供填补，其中 i.i.d. 到达允许实现显著更优的竞争比。
• 设计一种新算法，利用请求到达的随机特性，超越最坏情况和随机顺序设置下的已知界限。
• 通过证明一般度量和结构化度量下改进的竞争比，建立 i.i.d. 模型与对抗模型/随机顺序模型之间的严格分离。
• 证明在 i.i.d. 到达下，度量结构——尤其是树——能够实现常数竞争比的算法，而对抗模型中则不能。

提出的方法

• 提出一种公平偏差匹配算法，将每个到达的请求以与空闲服务器数量倒数成比例的概率匹配到空闲服务器上，该比例根据服务器位置和请求类型进行调整。
• 采用概率分析框架，将在线算法的期望代价与最优离线解的代价进行比较。
• 利用 i.i.d. 请求分布的均匀性，不失一般性地假设所有请求类型等可能，从而简化分析。
• 应用结构引理，将算法的期望代价分解为每个时间步的贡献，基于当前的空闲服务器集合。
• 通过对偶拟合论证和期望权重最大化，建立竞争力，将期望匹配代价与最优解关联。
• 通过修改匹配概率规则以优先选择高权重边，将算法扩展至最大权重匹配变体，实现 1/2-竞争比。

实验结果

研究问题

• RQ1 独立同分布到达模型是否能在在线最小代价度量匹配中实现次对数竞争比，超越对抗模型和随机顺序模型中的 Ω(log n) 下界？
• RQ2 在独立同分布到达下，树度量是否存在根本性的结构优势，使得可实现常数竞争比算法，而对抗模型中则不能？
• RQ3 是否存在一种统一的算法框架，能在独立同分布到达下同时实现一般度量空间中的改进竞争力和树上的常数竞争力？
• RQ4 度量性质——尤其是三角不等式——在独立同分布到达下实现有界竞争比中起到什么作用？
• RQ5 相同算法方法是否可适配于在线匹配的最大化变体，实现常数竞争比？

主要发现

• 该论文提出了一种在独立同分布到达下在线最小代价度量完美匹配的 O((log log log n)²)-竞争算法，相较于对抗模型和随机顺序模型中的 Ω(log n) 下界，实现了显著改进。
• 对于树度量，该论文在独立同分布到达下实现了 9-竞争比，严格优于最坏情况模型中的 9+ε 下界。
• 该算法的竞争比源于一种公平偏差匹配规则，该规则根据实时空闲服务器数量和请求类型平衡服务器利用率。
• 分析表明，在最大权重匹配变体中，该在线算法的期望代价至少为最优期望代价的一半，实现了 1/2-竞争比。
• 该论文证明了度量性至关重要：即使仅有一条边违反三角不等式，也可能在独立同分布到达下（尤其是在未知 i.i.d. 设置下）导致竞争比无界。
• 结果建立了 i.i.d. 模型与对抗模型及随机顺序模型之间的严格分离，表明随机到达可实现显著更优的性能保证。