[论文解读] Stopping Times and Related Itô's Calculus with G-Brownian Motion

Xinpeng Li, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过引入一种不要求被积函数为拟连续的随机积分，为 $G$-布朗运动建立了新的伊藤微积分，从而实现了在停时区间上的伊藤积分定义。其主要贡献在于为 $C^{1,2}$ 函数建立了通用的伊藤公式，证明即使对于第二阶导数不满足多项式增长条件的 $C^2$ 函数，经典伊藤公式依然成立。

ABSTRACT

Under the framework of G-expectation and G-Brownian motion, we introduce Itô's integral for stochastic processes without assuming quasi-continuity. Then we can obtain Itô's integral on stopping time interval. This new formulation permits us to obtain Itô's formula for a general C^{1,2}-function, which essentially generalizes the previous results of Peng [20, 21, 22, 23, 24] as well as those of Gao [8] and Zhang et al. [26].

研究动机与目标

• 将伊藤微积分扩展至 $G$-布朗运动，突破拟连续过程的限制。
• 解决在 $G$-期望下对 $C^2$ 函数形式化伊藤公式的开放问题。
• 在停时区间上定义随机积分，提升伊藤微积分的适用范围。
• 通过推广彭和高先前的结果，为非线性期望理论建立基础工具。

提出的方法

• 引入一个新的随机过程空间 $M_{ullet}^{2}(0,T)$，其过程无需为拟连续。
• 在此空间上定义新的伊藤积分 $\int_0^t \eta_s dB_s$，允许在无拟连续性约束下进行积分。
• 将伊藤积分推广至随机时间区间 $[0, \tau]$，其中 $\tau$ 为停时，从而实现对随机时间的路径积分。
• 通过简单过程的逼近及在 $M_{ullet}^{2}(0,T)$ 中的收敛性推导出通用伊藤公式。
• 通过逼近序列的极限论证，将广义伊藤公式应用于 $C^{1,2}$ 函数，其中逼近序列为有界、分段常数过程。
• 依赖于 $G$-正态分布与次线性期望的性质，以确保积分的稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G$-布朗运动背景下，能否为非拟连续过程定义伊藤积分？
• RQ2 当第二阶导数不满足多项式增长条件时，伊藤公式是否对 $C^2$ 函数依然成立？
• RQ3 在 $G$-期望框架下，能否在停时区间上合理定义随机积分？
• RQ4 伊藤积分 $\int_0^\cdot \eta_s dB_s$ 成为鞅或局部鞅的条件是什么？
• RQ5 如何将 $G$-布朗运动理论扩展至包含一般 $C^{1,2}$ 函数的伊藤公式？

主要发现

• 伊藤积分 $\int_0^t \eta_s dB_s$ 对于不一定是拟连续的被积函数 $\eta_t$ 是良好定义的，从而扩展了随机积分的定义域。
• 在停时区间 $[0, \tau]$ 上的伊藤积分得到了严格定义，从而能够处理随机时 horizon 问题。
• 证明了 $C^{1,2}$ 函数 $\varphi$ 的通用伊藤公式，表明对于 $\varphi \in C^2$，有 $\varphi(B_t) - \varphi(B_{t_0}) = \int_{t_0}^t \varphi_x(B_s) dB_s + \frac{1}{2}\int_{t_0}^t \varphi_{xx}(B_s) d\langle B\rangle_s$ 成立。
• $M_{ullet}^{2}(0,T)$ 中逼近简单过程的收敛性确保了伊藤公式在极限下的稳定性。
• 证明依赖于 $L^2$-型范数下的一致有界性与收敛性，且在网格尺寸趋于零时误差项趋于零。
• 该框架通过将彭早期结果推广至无增长限制的 $C^2$ 函数，填补了 $G$-随机微积分中长期存在的理论空白。