[论文解读] Stratifications and quasi-projective coarse moduli spaces for the stack of Higgs bundles

Eloise Hamilton|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文将非约化几何不变量理论（NR-GIT）应用于紧致黎曼曲面上 Higgs丛 模堆栈的不稳定层的构造，构建了拟射影粗模空间。文章引入了两种精细化分层——分别基于 Higgs丛 和其底层丛的不稳定类型——为每个层提供了显式的射影完备化，并在秩 2 情况下给出了完整的模理论描述。

ABSTRACT

The classification problem for Higgs bundles of a fixed rank and degree on a compact Riemann surface is encoded in the moduli stack of such objects. Nitsure's GIT construction of the moduli space of semistable Higgs bundles produces a quasi-projective coarse moduli space (if the rank and degree are coprime) for the semistable stratum of this moduli stack. Nevertheless, GIT cannot be used to produce coarse moduli spaces for the complement of the semistable stratum. In this paper we use a recent generalisation of GIT, called Non-Reductive GIT, to construct two stratifications of the stack of Higgs bundles which satisfy the property that each stratum admits a quasi-projective coarse moduli space with an explicit projective completion. The first is a refinement of the Higgs Harder-Narasimhan stratification of the stack of Higgs bundles (defined by the instability type of the Higgs bundle), while the second is a refinement of the Harder-Narasimhan stratification (defined by the instability type of the underlying bundle). We provide a complete and explicit moduli-theoretic description of both refined stratifications in the rank $2$ case.

研究动机与目标

• 为解决 Higgs 丛模堆栈中不稳定层缺乏粗模空间的问题，超越 Nitsure 对半稳定 Higgs 丛的 GIT 构造。
• 通过推广 GIT，将模理论构造扩展至半稳定区域之外。
• 为 Higgs 丛堆栈的精细化分层中的每一层提供显式、射影的完备化。
• 在秩 2 情况下，提供精细化分层的完整模理论描述。
• 证明两种精细化分层中的每一层均 admits 拟射影粗模空间。

提出的方法

• 利用非约化 GIT 构造标准 GIT 失效时不稳定层的粗模空间。
• 引入现有分层的两种不同精细化：一种基于 Higgs 丛的不稳定类型，另一种基于其底层向量丛的不稳定类型。
• 通过 Higgs 丛或其底层丛的 Harder-Narasimhan 类型定义层，确保每一层在群作用下不变。
• 为每一层构造显式的射影完备化，确保粗模空间为拟射影。
• 将 NR-GIT 的一般框架应用于 Higgs 丛堆栈，利用其处理非李群作用的能力。
• 在秩 2 情况下，通过显式不变量和稳定性条件，提供两种精细化分层的完整模理论描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 非约化 GIT 是否可用于在 Higgs 丛模堆栈中为不稳定层构造拟射影粗模空间？
• RQ2 如何对 Higgs Harder-Narasimhan 分层进行精细化，以确保每一层均 admits 拟射影粗模空间？
• RQ3 在秩 2 情况下，精细化分层的模理论结构为何？
• RQ4 底层丛的不稳定类型与 Higgs 丛的不稳定类型相比，在定义具有良好模性质的层时有何差异？
• RQ5 是否可为精细化分层中每一层构造显式的射影完备化？

主要发现

• 非约化 GIT 有效构造了 Higgs 丛堆栈两种精细化分层中每一层的拟射影粗模空间。
• 第一种精细化基于 Higgs Harder-Narasimhan 类型，对 Higgs 丛不稳定性的分层进行了细化。
• 第二种精细化基于底层向量丛的 Harder-Narasimhan 类型，提供了具有良好模性质的替代分层。
• 两种精细化分层中每一层均 admits 拟射影粗模空间，并具有显式的射影完备化。
• 在秩 2 情况下，为两种精细化分层提供了完整且显式的模理论描述。
• 该构造超越了半稳定 Higgs 丛，弥补了 Nitsure 构造中标准 GIT 所留下的空白。