[论文解读] Streaming Algorithms for Submodular Function Maximization

Chandra Chekuri, Shalmoli Gupta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用 18

一句话总结

本文提出了一种用于在 p-matchoid 约束下最大化非单调子模函数的流算法，采用一种新颖的迭代贪心框架，实现空间高效的近似。该方法在使用 $O(k\log k)$ 空间的情况下实现了 $\Omega(1/p)$-近似，当与独立集问题的离线算法结合时，可获得更优的界。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing a nonnegative submodular set function $f:2^{\mathcal{N}} ightarrow \mathbb{R}^+$ subject to a $p$-matchoid constraint in the single-pass streaming setting. Previous work in this context has considered streaming algorithms for modular functions and monotone submodular functions. The main result is for submodular functions that are {\em non-monotone}. We describe deterministic and randomized algorithms that obtain a $Ω(\frac{1}{p})$-approximation using $O(k \log k)$-space, where $k$ is an upper bound on the cardinality of the desired set. The model assumes value oracle access to $f$ and membership oracles for the matroids defining the $p$-matchoid constraint.

研究动机与目标

• 解决在单次遍历流模型和有限内存下最大化非单调子模函数的挑战。
• 设计在 p-matchoid 约束下保持常数近似比的空间高效算法，推广基数约束和拟阵约束。
• 通过引入非单调情形的框架，克服先前仅关注单调子模函数工作的局限性。
• 实现具有 $O(k\log k)$ 空间和 $\Omega(1/p)$-近似的确定性和随机流算法，用于非单调子模最大化。
• 将离线算法作为黑箱集成以改进近似保证，尤其当离线算法具有已知近似比 $\gamma_p$ 时。

提出的方法

• 提出一种两遍流算法，即迭代流贪心算法（Iterated-Streaming-Greedy），在完整数据流上运行参数为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的 Streaming-Greedy，然后在被拒绝的元素上再次运行。
• 使用子模函数 $f$ 的值 oracle 和 p-matchoid 约束的成员资格 oracle，同时对解大小设定上界 $k$。
• 应用参数为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的随机流贪心算法（Streaming-Greedy），选择集合 $S_1$，并追踪被拒绝元素 $U_1$。
• 在 $\mathcal{N} \setminus U_1$ 上运行第二轮 Streaming-Greedy（参数 $\alpha = 0$）以获得 $S_2$，确保被拒绝元素不丢失。
• 在 $U_1$ 上使用离线算法计算 $S_3$，利用 $|U_1| \leq \mathrm{OPT}/\alpha$ 的事实，使输入规模保持较小。
• 返回 $S_1$、$S_2$ 和 $S_3$ 中的最优解作为最终解，理论保证基于子模性和集中不等式推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种流算法，在 p-matchoid 约束下对非单调子模函数最大化实现常数近似比？
• RQ2 在有限内存的单次遍历流模型中，如何高效处理子模函数的非单调性？
• RQ3 在一般 p-matchoid 约束下的流子模最大化中，空间使用与近似比之间的权衡是什么？
• RQ4 我们能否将流贪心算法与对被拒绝元素的离线优化相结合，以改进近似保证？
• RQ5 在流框架中，为平衡近似质量与空间效率，参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 的最优选择是什么？

主要发现

• 所提算法在使用 $O(k\log k)$ 空间的情况下，对 p-matchoid 约束下的非单调子模最大化实现了 $\Omega(1/p)$-近似。
• 当使用近似比为 $\gamma_p$ 的离线算法时，整体期望近似比至少为 $\left(8p + \frac{1}{\gamma_p}\right)^{-1}(1 - \epsilon)\mathrm{OPT}$，其中任意 $\epsilon > 0$。
• 该算法使用 $O\left(\frac{k\log k}{\epsilon}\right)$ 空间，空间效率高，且在流设置下近乎最优。
• 若离线算法为确定性算法，则该框架为确定性，且此时近似保证不依赖于期望。
• 该方法可通过在 $|U_1|$ 超过 $\mathrm{OPT}/\alpha$ 时提前终止，实现高效的参数猜测，从而支持实际部署。
• 分析依赖于子模性和边际增益边界，关键不等式源于子模性质和 p-matchoid 的结构。