[论文解读] Strict quantum 2-groups

Shahn Majid|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于霍普夫代数和一种新概念‘可嵌入量子群胚’的新型量子2-群框架，将严格2-群推广至量子设定。关键贡献是定理2.6，该定理由霍普夫代数数据构造出量子2-群，并进一步推广至H-模范畴的德林费尔德中心中的辫子交叉模，提供了经典交叉模的量子类比。

ABSTRACT

A crossed module is (A,H,d,\la) where d:A o H is a homomorphism of groups and H acts on A, with conditions leading to a groupoid A\lcross H{ o\atop o}H as an example of a strict 2-group. We give the corresponding notion of a quantum 2-group where we replace the above by Hopf algebras and introduce a new version of quantum groupoid. The work also suggests a natural notion of braided crossed module where A a braided-Hopf algebra in the braided category Z({}_H\CM) of crossed H-modules, although without the full groupoid picture in this more general case.

研究动机与目标

• 通过霍普夫代数将严格2-群的概念推广至量子设定。
• 定义一类新的量子群胚，称为‘可嵌入量子群胚’，使其在非交换基情形下支持一致的2-群结构。
• 通过在H-模范畴的德林费尔德中心中引入辫子霍普夫代数，将交叉模概念推广至辫子设定。
• 提供一种支持水平与垂直复合的量子群胚构造，且与交换律相容。
• 为利用辫子张量范畴与霍普夫代数数据进行量子对称性的范畴化奠定基础。

提出的方法

• 引入‘可嵌入量子群胚’的概念，作为非交换霍普夫代数设定下群胚结构的推广。
• 通过满足扭曲霍普夫代数条件与相容性条件的霍普夫代数交叉模 $(A, H, d, riangleright)$ 定义量子2-群。
• 通过 $(b,g) ullet (a,h) = (ba,h)$ 在 $G_1 = A times H$ 上构造水平复合 $ullet$，并将其扩展至 $G_1 imes G_1$ 以保证结合性。
• 使用拉德福德双积构造，为德林费尔德中心 ${ m Z}({}_H{ m M})$ 中的辫子霍普夫代数 $B$ 定义 $B times H$。
• 将源映射与目标映射 $s, t: G_1 o G_0$ 定义为霍普夫代数同态，其中 $s(b times h) = \rho(b)h$，$t(b times h) = d(b)h$，并定义包含映射 $i(h) = 1 times h$。
• 利用扭曲霍普夫代数公理与 $H$ 对 $A$ 的作用，验证交换律与可逆性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过霍普夫代数将经典严格2-群的概念推广至量子设定？
• RQ2 当基代数非交换时，何种结构可使量子群胚支持一致的2-群结构？
• RQ3 能否通过德林费尔德中心中的霍普夫代数将交叉模概念推广至辫子范畴？
• RQ4 何种条件可确保量子2-群中水平复合满足交换律？
• RQ5 德林费尔德中心的辫子结构如何影响量子2-群的构造？

主要发现

• 定理2.6 建立了从霍普夫代数交叉模 $(A, H, d, riangleright)$ 构造量子2-群的方法，其中 $G_0 = A$，$G_1 = A times H$，且源、目标与单位映射相容。
• 在 $G_1$ 上的水平复合 $ullet$ 是结合的，并可扩展至整个 $G_1 imes G_1$，确保与交换律相容。
• 由 $t(a,h) = d(a)h$ 定义的映射 $t: G_1 o G_0$ 是霍普夫代数同态，这对2-群结构至关重要。
• 命题3.5 表明，对于德林费尔德中心 ${ m Z}({}_H{ m M})$ 中的辫子霍普夫代数 $B$，拉德福德双积 $B times H$ 具有相容的源、目标与单位映射，构成一个量子2-群。
• 例3.6 表明，当 $H$ 为拟三角形且 $B$ 是 $H$ 的变换版本时，该构造产生 $H \blacktriangleright\rlap{\raise0.25em\relax\textstyle\bullet}\blacktriangleleft H$，一种已知的类似量子双代数的结构。
• 本文指出，在辫子情形下，完整的2-群结构可能需要将垂直复合与反演的定义推广至当前框架之外。