[论文解读] String Diagrams For Double Categories and Equipments

David Jaz Myers|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文为双范畴与装备范畴引入了弦图演算，通过图形化推理建立了关于伴随与共轭的奠基性结果。证明了伴随在与弯折运算可交换的意义下唯一，且表明伴随、共轭与伴随关系可通过图示演算中的Zig-Zag恒等式与扭结恒等式相互定义。

ABSTRACT

A popular graphical calculus for monoidal categories makes computations tactile and intuitive. Complicated diagram chases can be expressed in a few pictures and discovered by playing with a shoelace. Joyal and Street's proof of the soundness of this calculus says that any deformation of a diagram, any bending of the strings, describes the same morphism. In this paper, we extend the graphical calculus to double categories and proarrow equipments in order to bring the string diagrammatic method to formal category theory. Our main theorem proves this calculus sound with the help of Dawson and Pare's results on composition in double categories.

研究动机与目标

• 为双范畴与装备范畴开发一致的弦图演算。
• 在proarrow 2-范畴中形式化伴随、共轭与伴随关系之间的关系。
• 证明伴随在与弯折运算可交换的意义下唯一。
• 建立伴随/共轭结构与proarrow范畴中左伴随的等价性。
• 通过图示法证明Zig-Zag恒等式，利用扭结与弯折运算。

提出的方法

• 使用弦图表示双范畴中的1-态射、2-细胞及其复合。
• 通过弯折运算从伴随关系定义单位与余单位。
• 利用扭结恒等式验证伴随之间的同构与弯折运算可交换。
• 通过在图示演算中拉直线条来应用Zig-Zag（三角形）恒等式。
• 利用伴随关系的扭结恒等式验证所构造的细胞满足所需公理。
• 展示伴随结构可通过图示对偶性自然地从左伴随关系中导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用弦图在双范畴中推理伴随与共轭？
• RQ2 在何种条件下，给定态射的两个伴随同构，且其同构与弯折运算可交换？
• RQ3 在proarrow 2-范畴中，伴随、共轭与左伴随在多大程度上可相互定义？
• RQ4 扭结恒等式与Zig-Zag恒等式在伴随性质的图示证明中如何相互作用？
• RQ5 同构在确保伴随在一致结构下唯一性方面起什么作用？

主要发现

• 一个态射的伴随在与弯折运算可交换的唯一同构意义下唯一。
• 两个伴随之间的同构与弯折运算可交换，当且仅当它满足扭结恒等式。
• 若一个态射具有伴随与共轭，则它在proarrow 2-范畴中是左伴随。
• 反之，若一个态射是左伴随，则其右伴随实现了共轭与伴随结构。
• 伴随关系的Zig-Zag恒等式可直接从弦图演算中拉直线条得出。
• 伴随关系的扭结恒等式确保了伴随之间同构与弯折运算可交换。