[论文解读] String topology with gravitational descendants, and periods of Landau-Ginzburg potentials

Dmitry Tonkonog|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 81被引用 14

一句话总结

本文通過證明在單調拉格朗日子流形中，通過全純盤計數定義的朗道-金茲堡（LG）勢的各次冪的常數項等於周圍辛流形的下撓格羅莫夫-威滕不變量，從而建立了鏡像對稱的預測。本文引入了余切叢的弦拓撲的引力下撓量，並證明了LG勢的量子週期與縮放後的下撓不變量一致，為辛拓撲與鏡像對稱之間建立了新聯繫。

ABSTRACT

This paper introduces new operations on the string topology of a smooth manifold: gravitational descendants of its cotangent bundle, which are augmentations of the Chas-Sullivan $L_\infty$ algebra structure of the loop space. The definition extends to Liouville domains. Descendants of the $n$-torus are computed. To a monotone Lagrangian torus in a symplectic manifold, one associates a Laurent polynomial called the Landau-Ginzburg potential, by counting holomorphic disks. This paper proves the following mirror symmetry prediction: the constant terms of the powers of an LG potential are equal to descendant Gromov-Witten invariants of the ambient manifold.

研究动机与目标

• 定義光滑流形的余切叢的弦拓撲的引力下撓量，擴展查斯-沙利文的 $L_{∞}$ 代數結構。
• 在單調辛流形中，建立朗道-金茲堡勢的量子週期與下撓格羅莫夫-威滕不變量之間的對應關係。
• 證明LG勢的 $d$ 次冪的常數項等於 $d!$ 倍的第 $d$ 個引力下撓一重點不變量。
• 證明在給定的單調辛流形中，所有單調拉格朗日子流形的量子週期保持不變。
• 透過全純盤不變量與洛朗多項式勢，提供鏡像對稱預測的幾何實現。

提出的方法

• 將單調拉格朗日子流形 $L$ 的朗道-金茲堡勢 $W_L$ 定義為洛朗多項式，其係數為邊界在 $L$ 上的 $J$-全純Maslov指數2盤的計數，並按其同調類加權。
• 利用 $L$ 的單調性，確保 $W_L$ 在哈密頓同倫與幾乎複結構選擇下保持不變。
• 將第 $d$ 個週期 $\phi_d(W_L)$ 定義為 $W_L^d$ 的常數項，其捕捉了周圍流形的枚舉不變量。
• 證明 $\phi_d(W_L) = d! \cdot \langle \psi_{d-2} \mathrm{pt} \rangle_{X,d}$，將勢的週期與下撓格羅莫夫-威滕不變量聯繫起來。
• 應用線性代數與變換技術，透過坐標變換與初等列運算，將一般下撓不變量簡化為基本情形。
• 透過對輸入矩陣中非零向量數量的數學歸納與遞歸簡化，證明關鍵恆等式 $\langle \cdots \rangle = (k-2)!$ 對下撓不變量成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何為光滑流形的余切叢的弦拓撲定義引力下撓量？
• RQ2 朗道-金茲堡勢的週期與下撓格羅莫夫-威滕不變量之間是否存在鏡像對稱對應關係？
• RQ3 在固定單調辛流形中，單調拉格朗日子流形的LG勢的量子週期是否在所有此類子流形上相等？
• RQ4 $W_L^d$ 的常數項與周圍流形的第 $d$ 個下撓格羅莫夫-威滕不變量之間的精確關係為何？
• RQ5 能否透過辛幾何與代數變換對矩陣輸入進行遞歸簡化來計算下撓不變量？

主要发现

• 單調拉格朗日子流形 $L$ 的朗道-金茲堡勢 $W_L$ 的第 $d$ 個週期 $\phi_d(W_L)$ 等於 $d!$ 倍的引力下撓一重點格羅莫夫-威滕不變量 $\langle \psi_{d-2} \mathrm{pt} \rangle_{X,d}$。
• 對於 $X = \mathbb{C}P^2$，勢 $W = x_1 + x_2 + x_1^{-1}x_2^{-1}$ 滿足 $\phi_3(W) = 6$，與 $3! \cdot \langle \psi_1 \mathrm{pt} \rangle_{X,3} = 6$ 一致。
• 量子週期不依賴於給定單調辛流形中單調拉格朗日子流形的選擇，暗示其在哈密頓同倫與變異下保持不變。
• 證明透過坐標變換與列運算將一般下撓不變量簡化為基本情形，最終證明對結構化矩陣有 $\langle \cdots \rangle = (k-2)!$。
• 該方法依賴於線性代數與辛幾何的向量配置遞歸簡化，關鍵步驟涉及模空間中的定向與符號控制。
• 結果確認了同調鏡像對稱的一項關鍵預測：LG勢的週期編碼了與下撓格羅莫夫-威滕不變量相同的枚舉資料。