[论文解读] Stringy Chern classes of singular varieties

Tommaso de Fernex, Ernesto Lupercio+2 more|ArXiv.org|Jul 18, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文通过动机积分和MacPherson变换，利用弦论陈类对具有对数终端奇点的奇异复代数簇引入了弦论陈类，提供了一个双有理不变的类，该类推广了奇异空间上的陈类。关键结果是给出了一个Gorenstein商空间 $X = M/G$ 的弦论陈类的显式公式，该公式以固定点集 $M^g/C(g)$ 的陈-施瓦茨-麦克唐纳类表示，建立了与轨道丛不变量的直接联系。

ABSTRACT

Motivic integration and MacPherson's transformation are combined in this paper to construct a theory of "stringy" Chern classes for singular varieties. These classes enjoy strong birational invariance properties, and their definition encodes data coming from resolution of singularities. The singularities allowed in the theory are those typical of the minimal model program; examples are given by quotients of manifolds by finite groups. For the latter an explicit formula is proven, assuming that the canonical line bundle of the manifold descends to the quotient. This gives an expression of the stringy Chern class of the quotient in terms of Chern-Schwartz-MacPherson classes of the fixed-point set data.

研究动机与目标

• 为具有对数终端奇点的奇异复代数簇定义一个双有理不变的陈类。
• 通过动机积分结合解析数据，将陈-施瓦茨-麦克唐纳类扩展到奇异空间。
• 为有限群作用于流形的Gorenstein商空间 $X = M/G$ 提供弦论陈类的显式公式。
• 建立弦论陈类与轨道丛不变量（如轨道丛欧拉示性数）之间的联系。

提出的方法

• 通过在解析解 $f: Y \to X$ 的弧空间上使用动机积分，构造一个取有理数值的构造函数 $\Phi_X$，其权重为相对 canonical $\mathbb{Q}$-除子 $K_{Y/X}$ 的阶。
• 将弦论陈类定义为 $c_{\text{str}}(X) := c(\Phi_X)$，其中 $c$ 是从构造函数到 Chow 同调的 MacPherson 自然变换。
• 利用动机积分中的变量替换公式，确保 $\Phi_X$ 的双有理不变性，从而保证 $c_{\text{str}}(X)$ 的双有理不变性。
• 对于商空间 $X = M/G$，将 $\Phi_X$ 表示为 $G$ 的共轭类之和，利用堆栈 $[M/G]$ 上常值函数的轨道丛上推。
• 应用 MacPherson 变换，推导出公式 $\widetilde{c}_{\text{str}}(X) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} (\pi_g)_* c_{\text{SM}}(M^g / C(g))$，其中 $C(g)$ 是 $g$ 的中心化子。
• 通过度映射验证弦论欧拉示性数 $e_{\text{str}}(X)$ 与轨道丛欧拉示性数 $e(M,G) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} e_c(M^g / C(g))$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过动机积分和MacPherson变换，为具有对数终端奇点的奇异簇定义一个双有理不变的陈类？
• RQ2 商空间 $X = M/G$ 的弦论陈类如何与 $M$ 上群作用的固定点数据相关联？
• RQ3 弦论陈类是否能恢复已知的轨道丛不变量（如轨道丛欧拉示性数）？
• RQ4 弦论陈类是否独立于解析的选择？这一性质如何通过动机积分确保？
• RQ5 弦论陈类能否表示为商固定点集的陈-施瓦茨-麦克唐纳类的上推之和？

主要发现

• 弦论陈类 $c_{\text{str}}(X)$ 满足所需的双有理不变性：若 $X$ 与 $X'$ 是 $K$-等价的，则存在某个在共同解析上的类 $C$，使得 $c_{\text{str}}(X) = f_* C = f'_* C$。
• 对于 canonical 线丛下移的 Gorenstein 商空间 $X = M/G$，弦论陈类由 $\widetilde{c}_{\text{str}}(X) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} (\pi_g)_* c_{\text{SM}}(M^g / C(g))$ 给出，其中 $\mathcal{C}(G)$ 是 $G$ 的共轭类集合。
• $\Phi_X$ 由于动机积分中的变量替换公式，其值与解析的选择无关。
• 弦论陈类与 Joyce 定义的 $[M/G]$ 上常值函数的轨道丛上推一致。
• 弦论欧拉示性数 $e_{\text{str}}(X)$ 等于轨道丛欧拉示性数 $e(M,G) = \sum_{g \in \mathcal{C}(G)} e_c(M^g / C(g))$，与 Batyrev 的结果一致。
• 该构造为奇异簇提供了一个直接且明显双有理不变的陈类定义，扩展了经典的陈-施瓦茨-麦克唐纳类。