[论文解读] Strong NP-Hardness of the Quantum Separability Problem

Sevag Gharibian|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文通过证明：即使量子态与可分集合之间的距离为多项式倒数距离，判断该量子态是否可分的问题依然是强 NP-难问题，从而确立了量子可分性问题的强 NP-难性。该结果通过结合 CLIQUE 问题与鲁棒半定规划可行性问题的约化，将早期仅适用于指数接近态的 NP-难性结果推广至更一般的情形。

ABSTRACT

Given the density matrix rho of a bipartite quantum state, the quantum separability problem asks whether rho is entangled or separable. In 2003, Gurvits showed that this problem is NP-hard if rho is located within an inverse exponential (with respect to dimension) distance from the border of the set of separable quantum states. In this paper, we extend this NP-hardness to an inverse polynomial distance from the separable set. The result follows from a simple combination of works by Gurvits, Ioannou, and Liu. We apply our result to show (1) an immediate lower bound on the maximum distance between a bound entangled state and the separable set (assuming P != NP), and (2) NP-hardness for the problem of determining whether a completely positive trace-preserving linear map is entanglement-breaking.

研究动机与目标

• 解决当输入态与可分集合之间的距离为多项式倒数距离（而非指数小距离）时，量子可分性问题（QUSEP）的复杂性问题。
• 通过将先前仅适用于指数接近态的 QUSEP NP-难性结果推广至更广泛的情形，强化已有的 NP-难性结果，其中有限精度计算问题的影响较小。
• 在假设 P ≠ NP 的前提下，建立束缚纠缠态与可分集合之间最大欧氏距离的下界。
• 证明判断一个完全正且保迹的线性映射是否为纠缠破坏型映射是 NP-难问题，这是量子信息理论中的一个基本问题。

提出的方法

• 利用 Liu 建立的从 NP-完全的 CLIQUE 问题到鲁棒半定规划可行性（RSDF）的多一约化。
• 应用从 RSDF 到弱有效性（WVALα）的图灵约化，后者用于测试一个超平面是否近似分离一个凸集。
• 利用凸集上弱有效性（WVALα）与弱成员资格（WMEMβ）之间的已知等价性，特别是针对可分态集合 SM,N。
• 采用密度矩阵的 Bloch 向量表示，将量子态之间的迹范数距离与它们的 Bloch 向量之间的欧氏距离关联起来。
• 通过组合这些约化，证明对于任意多项式倒数 β，WMEMβ(SM,N) 是 NP-难的，而不仅限于指数小的 β。
• 利用引理 8 将密度矩阵的 Hilbert-Schmidt 范数与它们的 Bloch 向量的欧氏范数关联，从而支持对可分性边界进行几何分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入态与可分集合之间的距离为多项式倒数距离时，量子可分性问题是否为强 NP-难？
• RQ2 在假设 P ≠ NP 的前提下，束缚纠缠态与可分态集合之间的最大可能欧氏距离是多少？
• RQ3 判断一个量子通道是否为纠缠破坏型映射的问题是否为 NP-难？
• RQ4 可分态弱成员资格问题的 NP-难性是否可推广至指数接近态之外的范围？
• RQ5 鲁棒半定规划可行性问题在建立量子态分类复杂性界限中起到何种作用？

主要发现

• 当输入态与可分集合之间的距离为多项式倒数距离时，量子可分性问题为强 NP-难，该结果扩展了 Gurvits 早期仅适用于指数小距离的结果。
• 在假设 P ≠ NP 的前提下，立即建立了束缚纠缠态与可分态集合之间最大欧氏距离的下界。
• 证明了判断一个完全正且保迹的线性映射是否为纠缠破坏型映射的问题是 NP-难的。
• 该证明依赖于一条约化链：CLIQUE ≤m RSDF ≤m WVALα(SM,N) ≤T WMEMβ(SM,N)，其中 β 为系统维度的多项式倒数。
• 证明了所构造态的 Bloch 向量范数为 O(√N)，其中 N 为子系统的维度，该结果支持了多项式倒数距离的界限。
• 该结果意味着，即使在有限精度输入下，当态不靠近可分性边界时，区分可分态与纠缠态在计算上依然困难。