[论文解读] Structure of the mapping class groups of surfaces: a survey and a prospect

Shigeyuki Morita|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 75被引用 11

一句话总结

本文综述了曲面映射类群的拓扑结构，并提出了未来研究方向，包括与3-流形不变量的联系、模空间不稳定上同调、约翰逊同态余核以及曲面丛的特征类。文中呈现了实验结果，并就无限维李代数的上同调及自由群外自同构群的上同调提出了猜想。

ABSTRACT

In this paper, we survey recent works on the structure of the mapping class groups of surfaces mainly from the point of view of topology. We then discuss several possible directions for future research. These include the relation between the structure of the mapping class group and invariants of 3-manifolds, the unstable cohomology of the moduli space of curves and Faber's conjecture, cokernel of the Johnson homomorphisms and the Galois as well as other new obstructions, cohomology of certain infinite dimensional Lie algebra and characteristic classes of outer automorphism groups of free groups and the secondary characteristic classes of surface bundles. We give some experimental results concerning each of them and, partly based on them, we formulate several conjectures and problems.

研究动机与目标

• 提供对曲面映射类群拓扑结构的全面综述。
• 识别并探索映射类群理论中的开放问题，这些开放问题可能与3-流形不变量相关。
• 研究曲线模空间的不稳定上同调及其与法伯猜想的关系。
• 分析约翰逊同态余核及其对伽罗瓦作用和其他算术障碍的影响。
• 研究无限维李代数的上同调及其在定义曲面丛的二级特征类中的作用。

提出的方法

• 使用拓扑与几何方法综述映射类群理论的最新进展。
• 应用上同调技术研究曲线模空间的结构及其不稳定上同调。
• 以约翰逊同态为核心工具，探测映射类群的代数结构。
• 分析与自由群自同构群相关联的李代数的上同调。
• 通过代数拓扑与特征类理论，引入并计算曲面丛的二级特征类。
• 基于计算与理论研究，呈现实验结果以支持新猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射类群的上同调不变量与3-流形的不变量之间有何关系？
• RQ2 曲线模空间的不稳定上同调结构如何？它与法伯猜想有何关联？
• RQ3 约翰逊同态满射性的障碍是什么？伽罗瓦作用如何影响这些障碍？
• RQ4 如何利用无限维李代数的上同调来定义曲面丛的新特征类？
• RQ5 二级特征类对曲面丛的拓扑及其单值表示有何影响？

主要发现

• 本文揭示了映射类群上同调与3-流形不变量之间的深刻联系，提示了几何拓扑学的新方向。
• 实验结果支持这样一个猜想：在某些度数下，曲线模空间的不稳定上同调是非平凡的。
• 约翰逊同态的余核被证明携带算术信息，可能受到伽罗瓦作用的阻碍。
• 提出了源自无限维李代数上同调的新二级特征类，用于曲面丛。
• 外自同构群的上同调与曲面丛的特征类相联系，提示了一个更广泛的理论框架。
• 基于计算证据，提出了若干猜想，特别是关于约翰逊滤链的结构及其上同调影响。