[论文解读] Submodular Function Maximization over Distributive and Integer Lattices

Corinna Gottschalk, Britta Peis|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文提出了在分配格和整数格上最大化子模函数的近似算法，针对整数格上的无约束子模最大化问题，提出了一种确定性的 1/3-近似算法；针对分配格上的 DR-子模最大化问题，提出了一种随机化的 1/2-近似算法。研究建立了 knapsack 约束问题的强不可近似性界，表明在合理的复杂性假设下，不存在 2^{(log(n^{1/2}-1))^δ - 1}-近似算法。

ABSTRACT

The problem of maximizing non-negative submodular functions has been studied extensively in the last few years. However, most papers consider submodular set functions. Recently, several advances have been made for the more general case of submodular functions on the integer lattice. In this paper, we present a deterministic $\frac{1}{3}$-approximation for maximizing a submodular function on a bounded integer lattice $\{0, \ldots, C\}^n$ using a Double Greedy framework. Moreover, we show that the analysis is tight and that other ideas used for approximating set functions cannot easily be extended. In contrast to set functions, submodularity on the integer lattice does not imply the so-called diminishing returns property. Assuming this property, it was shown that many results for set functions can also be obtained for the integer lattice. In this paper, we consider a further generalization. Instead of the integer lattice, we consider a distributive lattice as the function domain and assume the diminishing returns (DR) property. On the one hand, we show that some approximation algorithms match the set functions setting. In particular, we can obtain a $\frac{1}{2}$-approximation for unconstrained maximization, a $(1-\frac{1}{e})$-approximation for monotone functions under a cardinality constraint and a $\frac{1}{2}$-approximation for a poset matroid constraint. On the other hand, for a knapsack constraint, the problem becomes significantly harder: even for monotone DR-submodular functions, we show that there is no $2^{(\log (n^{1/2} - 1))^δ- 1}$-approximation for every $δ> 0$ under the assumption that $3-SAT$ cannot be solved in time $2^{n^{3/4 + ε}}$.

研究动机与目标

• 开发针对有界整数格上无约束子模最大化的高效近似算法，其中子模性不蕴含递减收益（DR）性质。
• 将集合函数上的近似算法扩展到分配格上的 DR-子模函数，后者同时推广了集合函数和整数格函数。
• 分析在分配格上，针对 knapsack、基数和偏序集拟阵约束的约束子模最大化的复杂性。
• 为单调 DR-子模最大化的 knapsack 约束问题建立强不可近似性结果，将其与稠密 k-子图问题的困难性联系起来。
• 表明现有针对集合函数的技术难以直接推广到整数格设置，原因在于一般子模函数在整数格上通常不具有 DR 性质。

提出的方法

• 将 Buchbinder 等人 [6] 的无约束子模最大化的框架适配到整数格上，采用类似贪心的迭代过程，实现 1/3-近似。
• 通过利用偏序集（poset）表示分配格的理想表示，结合基于扰动的采样方法，提出一种针对分配格上 DR-子模最大化的随机算法。
• 通过从稠密 k-子图问题（DkSH）到分配格上 knapsack 约束子模最大化的归约，证明不可近似性界。
• 利用 Birkhoff 定理将分配格表示为偏序集的序理想集合，从而在结构化域上构造子模函数。
• 将递减收益（DR）性质作为关键假设，以恢复类似于集合函数设置下的算法保证，例如无约束问题的 1/2-近似和基数约束问题的 (1-1/e)-近似。
• 建立硬度放大链：knapsack 约束问题的 α-近似算法意味着 DkSH 问题的 2α(n′(m′+1))-近似，而后者在 3-SAT 假设下被证明难以近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在整数格上实现无约束子模最大化的确定性 1/3-近似，且该界是否紧致？
• RQ2 集合函数上的近似算法在多大程度上可推广到分配格上的 DR-子模函数？
• RQ3 在分配格上，单调 DR-子模函数在 knapsack 约束下的最大化的复杂性如何？
• RQ4 一般子模函数在整数格上缺乏递减收益性质，对近似算法设计有何影响？
• RQ5 能否利用稠密 k-子图问题的困难性，为 knapsack 约束下的子模最大化建立强不可近似性界？

主要发现

• 提出了一种针对有界整数格上无约束子模最大化的确定性 1/3-近似算法，且分析表明该界是紧致的。
• 对于分配格上的 DR-子模函数，无约束最大化的随机 1/2-近似被实现，与集合函数的最佳已知界一致。
• 在分配格上，单调 DR-子模最大化的基数约束问题中，获得了 (1-1/e)-近似，与集合函数情形类似。
• 在分配格上，针对偏序集拟阵约束，实现了 1/2-近似，扩展了集合函数设置下的结果。
• 在假设 3-SAT 无法在时间 2^{n^{3/4+ε}} 内求解的前提下，单调 DR-子模最大化的 knapsack 约束问题不存在 2^{(log(n^{1/2}-1))^δ - 1}-近似，从而建立了强不可近似性。
• 从稠密 k-子图问题（DkSH）到 knapsack 约束子模最大化的归约表明，后者任何 α-近似算法意味着 DkSH 问题的 2α(n′(m′+1))-近似，从而导出不可近似性结果。