[论文解读] Subshift of finite type and self-similar sets

Kan Jiang, Karma Dajani|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文在特定条件下——即重叠为精确重叠且端点具有周期轨道时——建立了由迭代函数系统（IFS）生成的自相似集与有限型子移位之间的对应关系。通过马尔可夫划分将自相似集与图自相似集相联系，作者利用Mauldin-Williams理论计算了具有唯一编码和多重编码的点集的Hausdorff维数，并将该方法应用于β-展开以及具有非对称孔的加倍映射下的幸存集。

ABSTRACT

Let $K\subset \mathbb{R}$ be a self-similar set generated by some iterated function system. In this paper we prove, under some assumptions, that $K$ can be identified with a subshift of finite type. With this identification, we can calculate the Hausdorff dimension of $K$ as well as the set of elements in $K$ with unique codings using the machinery of Mauldin and Williams \cite{MW}. We give three different applications of our main result. Firstly, we calculate the Hausdorff dimension of the set of points of $K$ with multiple codings. Secondly, in the setting of $β$-expansions, when the set of all the unique codings is not a subshift of finite type, we can calculate in some cases the Hausdorff dimension of the univoque set. Motivated by this application, we prove that the set of all the unique codings is a subshift of finite type if and only if it is a sofic shift. This equivalent condition was not mentioned by de Vries and Komornik \cite[Theorem 1.8]{MK}. Thirdly, for the doubling map with asymmetrical holes, we give a sufficient condition such that the survivor set can be identified with a subshift of finite type. The third application partially answers a problem posed by Alcaraz Barrera \cite{Barrera}.

研究动机与目标

• 建立自相似集在ℝ中可与有限型子移位相识别的条件。
• 计算具有重叠的自相似集中具有唯一编码和多重编码的点集的Hausdorff维数。
• 将Mauldin-Williams理论的应用范围扩展至β-展开以及具有非对称孔的加倍映射下的幸存集。
• 阐明无歧义集与有限型子移位之间的关系，证明唯一编码集是有限型子移位当且仅当其为Sofic移位。

提出的方法

• 通过假设精确重叠及$f_i(K)$端点处轨道周期性，构造自相似集$K$的马尔可夫划分。
• 利用马尔可夫划分，通过转移矩阵将$\{1,\dots,m\}^\mathbb{N}$上的全移变换为有限型子移位。
• 由于马尔可夫结构，将自相似集$K$与满足开放集条件的图自相似集相等化。
• 应用Mauldin-Williams定理，计算$K$及其子集（如无歧义集$U_F$）的Hausdorff维数。
• 利用具有非对称孔的加倍映射建模幸存集，并在区间上定义马尔可夫划分，以建立与有限型子移位的同构关系。
• 在幸存集去掉可数个前像后，定义双射$\phi$，使其与有限型子移位同构，并通过移位映射保持动力学结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，自相似集$K$可与有限型子移位相识别？
• RQ2 在$K$中具有恰好$k$个编码的点集的Hausdorff维数是多少？其随$k$如何变化？
• RQ3 当唯一编码集本身不是有限型子移位时，能否计算无歧义集的Hausdorff维数？
• RQ4 唯一编码集在何种情况下是有限型子移位？其与Sofic移位有何关系？
• RQ5 在具有非对称孔的加倍映射下，幸存集与有限型子移位同构的充分条件是什么？

主要发现

• 对于包含四个映射且满足$0 < \lambda < \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$的特定IFS，集合$U_{2^k}$的Hausdorff维数与$U_1$相同，且当$k \neq 2^s$（$s \geq 1$）时$U_k = \emptyset$，而$U_{\aleph_0} = \emptyset$。
• 自相似集$K$中的任意点，其编码数要么恰好为$2^k$（$k \geq 0$），要么为不可数无穷多个。
• 唯一编码集$\widetilde{U}_F$是有限型子移位当且仅当其为Sofic移位，这一条件此前未被de Vries与Komornik指出。
• 对于具有非对称孔$[a,b)$的加倍映射，幸存集$J[a,b)$的Hausdorff维数为$\frac{\log \alpha}{\log 2}$，其中$\alpha$为邻接矩阵$S'$的谱半径。
• 在去掉可数个前像后，幸存集$J[a,b)$在测度意义下与有限型子移位$\Sigma'$同构，且该同构保持Parry测度。
• 在例5.9中，当$a = \frac{1}{31}$，$b = \frac{2}{31}$时，邻接矩阵的谱半径$\alpha$满足$\alpha^4 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1$，从而得到$\dim_H(J(a,b)) = \frac{\log \alpha}{\log 2}$。