[论文解读] Sum of squares lower bounds for refuting any CSP

Pravesh K. Kothari, Ryuhei Mori+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 41被引用 11

一句话总结

该论文建立了对随机约束满足问题（CSPs）的平方和（SOS）下界，表明当谓词 $P$ 在其满足赋值上支持 $t$-wise 均匀分布时，度数为 $\Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$ 的 SOS 算法无法反驳随机的 $\mathrm{CSP}(P)$ 实例，即使约束密度 $\Delta \gg 1$。该结果揭示了约束密度、SOS 度数（因此运行时间）与反驳强度之间的紧密三重权衡，统一了先前的下界结果，并与最近的算法上界结果相匹配。

ABSTRACT

Let $P:\{0,1\}^k o \{0,1\}$ be a nontrivial $k$-ary predicate. Consider a random instance of the constraint satisfaction problem $\mathrm{CSP}(P)$ on $n$ variables with $Δn$ constraints, each being $P$ applied to $k$ randomly chosen literals. Provided the constraint density satisfies $Δ\gg 1$, such an instance is unsatisfiable with high probability. The \emph{refutation} problem is to efficiently find a proof of unsatisfiability. We show that whenever the predicate $P$ supports a $t$-\emph{wise uniform} probability distribution on its satisfying assignments, the sum of squares (SOS) algorithm of degree $d = Θ(\frac{n}{Δ^{2/(t-1)} \log Δ})$ (which runs in time $n^{O(d)}$) \emph{cannot} refute a random instance of $\mathrm{CSP}(P)$. In particular, the polynomial-time SOS algorithm requires $\widetildeΩ(n^{(t+1)/2})$ constraints to refute random instances of CSP$(P)$ when $P$ supports a $t$-wise uniform distribution on its satisfying assignments. Together with recent work of Lee et al. [LRS15], our result also implies that \emph{any} polynomial-size semidefinite programming relaxation for refutation requires at least $\widetildeΩ(n^{(t+1)/2})$ constraints. Our results (which also extend with no change to CSPs over larger alphabets) subsume all previously known lower bounds for semialgebraic refutation of random CSPs. For every constraint predicate~$P$, they give a three-way hardness tradeoff between the density of constraints, the SOS degree (hence running time), and the strength of the refutation. By recent algorithmic results of Allen et al. [AOW15] and Raghavendra et al. [RRS16], this full three-way tradeoff is \emph{tight}, up to lower-order factors.

研究动机与目标

• 理解平方和（SOS）层级在反驳随机约束满足问题（CSPs）实例方面的局限性。
• 根据底层谓词 $P$ 的结构特性，刻画反驳随机 CSP 所需的最小 SOS 度数。
• 建立约束密度 $\Delta$、SOS 度数 $d$ 与反驳强度（包括 $\delta$-反驳）之间的紧密三重权衡。
• 将先前针对随机 CSP 的 SOS 下界统一并推广为一个单一的、基于谓词的框架。

提出的方法

• 作者通过构造一个伪期望，该伪期望满足所有低阶矩约束但为满足赋值分配高值，分析了 SOS 算法反驳随机 CSP 的能力。
• 他们定义了谓词 $P$ 的满足赋值分布的 $t$-wise 一致性概念，以捕捉解空间的对称性与结构。
• 通过在赋值上进行伪分布的概率构造，他们证明了若 $P$ 在其满足赋值上支持 $t$-wise 均匀分布，则 SOS 算法无法反驳随机实例。
• 关键技术工具是因子图中子图的收益分析，用于界定可能破坏反驳的较小非空 $\tau$-子图的数量。
• 他们利用基于收益 $R(H)$ 和独立性 $I(H)$ 的信用系统，推导出其邻域闭包超出直接邻域的约束数量的上界。
• 最终证明，在伪期望下可满足的约束比例至少为 $1 - \delta - \epsilon$，其中 $\epsilon = 2^{\log n / (2 \log \Delta)} / \sqrt{n}$，从而证明了对 $(\delta + o(1))$-反驳的失败。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定谓词 $P$ 的随机 CSP 实例，反驳所需的最小 SOS 度数是多少？
• RQ2 $P$ 的满足赋值的结构性对称性——以 $t$-wise 一致性衡量——如何影响反驳的难度？
• RQ3 当 $P$ 与支持 $t$-wise 均匀分布的性质 $\delta$-接近时，SOS 算法能否实现 $\delta$-反驳？
• RQ4 是否存在约束密度 $\Delta$、SOS 度数 $d$ 与反驳强度 $\delta$ 之间的紧密三重权衡？
• RQ5 这些 SOS 下界与反驳问题的最佳已知算法上界相比如何？

主要发现

• 对于任何非平凡的 $k$-元谓词 $P$，若其在满足赋值上支持 $t$-wise 均匀分布，则度数为 $d = \Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$ 的 SOS 算法无法反驳 $\mathrm{CSP}(P)$ 的随机实例（含 $\Delta n$ 条约束）。
• 当 $P$ 支持 $t$-wise 均匀分布时，多项式时间 SOS 算法需要 $\widetilde{\Omega}(n^{(t+1)/2})$ 条约束才能反驳 $\mathrm{CSP}(P)$ 的随机实例。
• 当 $P$ 与支持 $t$-wise 均匀分布的性质 $\delta$-接近时，度数为 $\Theta(n / \Delta^{2/(t-1)} \log \Delta)$ 的 SOS 算法无法实现 $(\delta + o(1))$-反驳。
• 该下界在低阶因子范围内是紧的，因为最近的算法结果表明，相同的三重权衡可由高效算法实现。
• 该结果可推广至字母表更大的 CSP，参数不变，仅需对文字的适当推广。
• 该工作表明，任何多项式大小的半定规划松弛用于反驳也需 $\widetilde{\Omega}(n^{(t+1)/2})$ 条约束，与 SOS 下界一致。