[论文解读] Supersymmetric gauge theories, quantization of moduli spaces of flat connections, and conformal field theory

G. S. Vartanov, J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 24

一句话总结

本文通过将瞬子划分函数识别为在 $SL(2,\mathbb{R})$-平坦联络的量子模空间上的黎曼-希尔伯特问题的解，推导出 $N=2$ 超对称规范理论的类 $\mathcal{S}$ 与 Liouville conformal field theory 之间的 AGT 对应关系。关键结果是，该空间上不同 Darboux 坐标之间的核被识别为 Liouville 共形块，从而为该对应关系提供了一个非微扰、受超对称保护的框架。

ABSTRACT

We will propose a derivation of the correspondence between certain gauge theories with N=2 supersymmetry and conformal field theory discovered by Alday, Gaiotto and Tachikawa in the spirit of Seiberg-Witten theory. Based on certain results from the literature we argue that the quantum theory of the moduli spaces of flat SL(2,R)-connections represents a non-perturbative "skeleton" of the gauge theory, protected by supersymmetry. It follows that instanton partition functions can be characterized as solutions to a Riemann-Hilbert type problem. In order to solve it, we describe the quantization of the moduli spaces of flat connections explicitly in terms of two natural sets of Darboux coordinates. The kernel describing the relation between the two pictures represents the solution to the Riemann Hilbert problem, and is naturally identified with the Liouville conformal blocks.

研究动机与目标

• 提供 $N=2$ 规范理论与 Liouville CFT 之间 AGT 对应关系的非微扰推导。
• 将类 $\mathcal{S}$ 规范理论的非微扰骨架识别为平坦 $SL(2,\mathbb{R})$-联络的量子模空间。
• 表明瞬子划分函数作为该量子模空间上广义黎曼-希尔伯特问题的解而出现。
• 建立不同 Darboux 坐标之间过渡核与 Liouville 共形块的对应关系。

提出的方法

• 使用两种自然的 Darboux 坐标集对黎曼曲面上平坦 $SL(2,\mathbb{R})$-联络的模空间 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 进行量化。
• 通过迹算符与长度算符之间的正则对易关系，构建 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 上函数的量子代数。
• 定义不同表示（如长度表示与凯勒量化）之间的幺正算符，其核解出黎曼-希尔伯特问题。
• 通过显式积分表示，将不同 Darboux 坐标之间过渡算符的核识别为 Liouville 共形块。
• 利用 Moore-Seiberg 群oid 与 Ptolemy 群oid 编码黎曼曲面的单值性与粘合数据。
• 建立量子丛的投影平坦性，并求解具有依赖于截面的解的广义黎曼-希尔伯特问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 $N=2$ 规范理论的非微扰、受超对称保护的框架中推导出 AGT 对应关系？
• RQ2 平坦 $SL(2,\mathbb{R})$-联络的量子模空间在类 $\mathcal{S}$ 规范理论动力学中扮演何种精确角色？
• RQ3 瞬子划分函数如何作为 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 上广义黎曼-希尔伯特问题的解而出现？
• RQ4 在量子层面，规范理论与 Liouville CFT 之间对应的数学结构是什么？
• RQ5 Liouville 理论的共形块如何作为 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 上不同 Darboux 坐标之间的过渡核实现？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^4$ 上的 $N=2$ 规范理论的瞬子划分函数被识别为在平坦 $SL(2,\mathbb{R})$-联络的量子模空间 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 上的黎曼-希尔伯特问题的解。
• 在 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 上，两个不同 Darboux 坐标系之间的核被显式计算并识别为 Liouville 共形块。
• 通过迹与长度坐标的标准量化，构建了 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 上函数的量子代数，其幺正表示通过积分核相互关联。
• Moore-Seiberg 群oid 中的 S-变换核被显式计算，并证明其与 Liouville 三点函数一致。
• 在 $\mathcal{M}_{\rm flat}$ 上的量子丛的投影平坦性确保了波函数在不同图册之间的一致性，其单值性由中心扩张编码。
• 生成函数 $\mathcal{W}$ 的渐近行为与共形块的经典极限一致，确认了与已知结果的一致性。