[论文解读] Supersymmetry of the chiral de Rham complex II: Commuting Sectors

Reimundo Heluani|ArXiv.org|Jun 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 11

一句话总结

该论文利用复结构和凯勒形式，在卡拉比-丘流形的共形德里哈姆复形上构造了两个对易的 N=2 超共形结构，并证明这些结构生成一个保持两个 N=2 对称性的非线性自同构。在超凯勒情形下，该构造被推广至两个对易的 N=4 超顶点代数，从而在弦理论紧化中实现了扩展超对称性的几何实现。

ABSTRACT

We construct two commuting N=2 structures on the space of sections of the chiral de Rham complex (CDR) of a Calabi-Yau manifold. We use this extra supersymmetry to construct a non-linear automorphism of CDR preserving these N=2 structures. Finally, we show how to extend these results to construct a commuting pair of N=4 super-vertex algebras in the Hyper-Kahler case.

研究动机与目标

• 在卡拉比-丘流形的共形德里哈姆复形（CDR）上构造两个对易的 N=2 超共形结构。
• 定义 CDR 的一个非线性自同构，使其保持两个 N=2 结构。
• 将构造推广至超凯勒流形，并证明存在两个对易的 N=4 超顶点代数。
• 通过与凯勒形式和复结构相关的超场，几何地实现半扭转 sigma 模型的扩展超对称性。

提出的方法

• 从凯勒形式 $ \omega $ 构造一个超场 $ J_{\rho} $，其在任意凯勒流形上生成一个 N=2 超共形结构。
• 在卡拉比-丘流形上，证明由度量生成的超场 $ H $、由复结构生成的超场 $ J $ 和由凯勒形式生成的超场 $ J_{\omega} $ 生成两个对易的 N=2 结构。
• 利用列维-奇维塔联络和度量，定义一个新的超对称变换，交换微分形式与向量场，从而导出一个新的超场 $ \tilde{a}_i $。
• 通过度量对 $ bc-\beta\gamma $ 系统中 $ \phi^i $ 与 $ \psi_i $ 角色的交换，构造 CDR 的一个非线性自同构，保持两个 N=2 结构。
• 在超凯勒情形下，将三个超场 $ J_i $ 关联于三个复结构，将三个 $ J_{\omega_i} $ 关联于三个凯勒形式，并证明它们生成两个对易的 N=4 超顶点代数。
• 利用超对称 Lisse conformal 代数公理和雅可比恒等式，验证超共形代数的封闭性与对易性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在凯勒流形的共形德里哈姆复形上，利用凯勒形式构造第二个 N=2 超共形结构？
• RQ2 在卡拉比-丘流形上，由复结构和凯勒形式生成的 N=2 结构是否对易？
• RQ3 是否存在一个保持卡拉比-丘流形上两个 N=2 结构的共形德里哈姆复形的非线性自同构？
• RQ4 该构造能否推广至超凯勒流形，以得到两个对易的 N=4 超顶点代数？
• RQ5 在超凯勒情形下，超共形生成元的代数结构是什么？它们与底层几何有何关系？

主要发现

• 在任意凯勒流形上，由黎曼度量生成的超场 $ H $ 与由凯勒形式生成的超场 $ J_{\omega} $ 生成一个中心荷为 $ 3\dim_{\mathbb{R}}M $ 的 N=2 超共形结构。
• 在卡拉比-丘流形上，由复结构 $ J $ 和凯勒形式 $ \omega $ 生成的 N=2 结构对易，从而产生两个对易的 N=2 结构，中心荷为 $ 3\dim_{\mathbb{C}}M $。
• 构造了一个保持两个 N=2 结构的共形德里哈姆复形的非线性自同构，其由度量对 $ bc-\beta\gamma $ 系统的作用诱导。
• 在超凯勒情形下，三个复结构 $ J_i $ 和三个凯勒形式 $ \omega_i $ 产生六个超场，它们生成两个中心荷为 $ 3\dim_{\mathbb{C}}M $ 的对易 N=4 超顶点代数。
• 通过超对称 Lisse conformal 代数的雅可比恒等式，验证了 N=4 结构的代数封闭性，从而确认了超共形代数的一致性。
• N=4 结构的中心荷为 $ c = 12n $，其中 $ n = \dim_{\mathbb{C}}M $，且 N=4 代数通过超场 $ J_1^\pm = \frac{1}{2}(J_1 \pm J_{\omega_1}) $ 等实现。