[论文解读] Supports, regularity, and $\boxplus$-infinite divisibility for measures of the form $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$

Hao-Wei Huang|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究了形如 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 的测度的支撑结构与正则性，其中 $\boxplus$ 和 $\uplus$ 分别表示自由卷积与布尔卷积。通过使用自由卷积幂的次序函数，本文证明了此类测度的绝对连续部分中连通分支的数量是 $p$ 的递减函数，并给出了密度的显式公式及原子存在的判别准则，特别地，表明 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 与 $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 具有相同数量的分支。

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}$ be the set of Borel probability measures on $\mathbb{R}$. We denote by $μ^{\mathrm{ac}}$ the absolutely continuous part of $μ\in\mathcal{M}$. The purpose of this paper is to investigate the supports and regularity for measures of the form $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$, $μ\in\mathcal{M}$, where $\boxplus$ and $\uplus$ are the operations of free additive and Boolean convolution on $\mathcal{M}$, respectively, and $p\geq1$, $q>0$. We show that for any $q$ the supports of $((μ^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ and $(μ^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ contain the same number of components and this number is a decreasing function of $p$. Explicit formulas for the densities of $((μ^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ and criteria for determining the atoms of $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$ are given. Based on the subordination functions of free convolution powers, we give another point of view to analyze the set of $\boxplus$-infinitely divisible measures and provide explicit expressions for their Voiculescu transforms in terms of free and Boolean convolutions.

研究动机与目标

• 分析形如 \/(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q} 的测度在 $\mu \in \mathcal{M}$，$p > 1$，$q > 0$ 条件下的支撑与正则性性质。
• 确定此类测度的绝对连续部分支撑中连通分支的数量及其与 $p$ 的依赖关系。
• 推导 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 的绝对连续分量密度的显式公式，并给出其原子存在的判别准则。
• 利用次序函数刻画 $\boxplus$-无限可分测度，并以自由卷积与布尔卷积的形式表达其 Voiculescu 变换。

提出的方法

• 利用与自由卷积幂相关的次序函数，分析 $p > 1$ 时 $\mu^{\boxplus p}$ 的结构。
• 应用布尔 Bercovici-Pata 双射 $\mathbb{B}_t$ 及其推广 $\mathbb{B}_{p,q}(\mu) = (\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$，建立自由卷积与布尔卷积之间的联系。
• 使用 Voiculescu 变换及其在自由卷积下的可加性，推导出在 $\mathbb{C}^+$ 中截断锥内的函数方程 $\phi_{\mu^{\boxplus p}} = p\phi_\mu$。
• 利用函数 $f_p(x)$ 及其与次序函数 $\psi_p$ 的关系，通过 $\frac{f_p(x)}{\pi(x^2 + f_p^2(x))}$ 在 $\psi_p(V_p^+)$ 上描述绝对连续部分的密度。
• 应用 Julia-Carathéodory 理论，通过柯西变换 $F_\mu'$ 在特定点的导数刻画原子。
• 通过分析 $f_p(x)$ 与 $\psi_p$ 的像的行为，证明 $(\mathbb{B}_{p,q}(\mu))^{\mathrm{ac}}$ 支撑中分支的数量是 $p$ 的递减函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 的绝对连续部分支撑中连通分支的数量如何依赖于 $p$？
• RQ2 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 的绝对连续分量密度由何种显式公式控制？
• RQ3 什么条件决定了 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 中原子的存在与位置？
• RQ4 如何用自由卷积与布尔卷积表达 $\boxplus$-无限可分测度的 Voiculescu 变换？
• RQ5 在何种条件下 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 与 $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 具有相同数量的支撑分支？

主要发现

• 对于 $p > 1$，$(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 支撑中连通分支的数量是 $p$ 的递减函数。
• 对于任意 $q > 0$，$(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 与 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 的绝对连续部分具有相同数量的分支。
• 在 $\psi_p(V_p^+)$ 上，$((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 的密度由 $\frac{f_p(x)}{\pi(x^2 + f_p^2(x))}$ 给出，其中 $f_p$ 由次序函数导出。
• $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 的原子精确出现在满足 $F_{\mu^{\boxplus p}}(\alpha) = \alpha/(1-p)$ 且 $F_{\mu^{\boxplus p}}'(\alpha) \in (1, \infty)$ 的点 $\alpha$ 处。
• 当 $q = 1/p^*$ 时，测度 $(\mathbb{B}_{p,1/p^*}(\mu))^{\mathrm{ac}}$ 在 $\psi_p(V_p^+)$ 上解析，且支撑于 $\psi_p(V_p^+)$ 的闭包上。
• 对任意 $t > 0$，存在测度 $\mu_t$ 满足 $\mathrm{Ind}(\mu_t) = t$，使得 $\mu_t$ 的支撑包含无穷多个分支。